Question

se alguem souber. me responda .

Answer 1

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L~\leftrightarrow~\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=L=\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f(x)}}$
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Avaliando os limites laterais:

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}f(x)$

Nesse caso, estamos avaliando o comportamento da função para x arbitrariamente próximo de 1, mas menor que 1, então usaremos a primeira forma da função (a que foi definida para x ≤ 1)

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}\left(\dfrac{5x}{6}-\dfrac{1}{3}\right)$

Como uma função polinomial é continua em toda a reta, temos

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}=\dfrac{5\cdot1}{6}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
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Avaliando o limite à direita:

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}f(x)$

Como o limite avalia o comportamento de f para x arbitrariamente próximo, mas maior, que x, temos

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}\dfrac{x}{2x-2}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}\dfrac{x}{x(2-\frac{2}{x})}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}\dfrac{1}{2-\frac{2}{x}}$

Esse limite não existe (a função tende a $+\infty$), pois o numerador é constante e o denominador tende a 0

Como um dos limites laterais não existe, a o limite em si não existe. Como a existência do limite é um dos requisitos para que a função seja contínua em x = 1, temos que f não é contínua em x = 1.