Question

Qual o comprimento da curva f(x) = 5x-2, x = [-2, 2]

Answer 1

Calculando o comprimento $L$ do arco da curva $f(x)=5x-2$ no intervalo $[-2,2],$ obtemos:

$\LargeL=4\sqrt{26}.$

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O comprimento $L$ do arco do gráfico de uma função contínua $y=f(x)$ no intervalo $[a,b]$ é dado pela seguinte fórmula:

$\Large\boxed{L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx.}$

Nesta questão, temos a função $f(x)=5x-2$ e desejamos calcular o comprimento do arco de seu gráfico quando $-2\leqslant x\leqslant2.$

Usando a fórmula apresentada, temos:

$\Large\begin{aligned}\displaystyle L&=\int_{-2}^{2}\sqrt{1+\left(\dfrac{d}{dx}[5x-2]\right)^2}\,dx\\\\&=\int_{-2}^{2}\sqrt{1+5^2}\,dx\\\\&=\int_{-2}^{2}\sqrt{1+25}\,dx\\\\&=\int_{-2}^{2}\sqrt{26}\,dx\\\\&=\sqrt{26}\cdot\int_{-2}^{2}\,dx\\\\&=\sqrt{26}\cdot\left[x\right]_{-2}^{2}\\\\&=\sqrt{26}\cdot[2-(-2)]\\\\&=\sqrt{26}\cdot(2+2)\\\\&=4\sqrt{26}~u.c.\end{aligned}$

Portanto, o comprimento do arco pedido é igual a

$\Large\boxed{\boxed{L=4\sqrt{26}~u.c.}}$

Se houver dúvidas, comente.

Espero ter ajudado!

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