Question

Utilizando o teste de comparação, verifique se a série do anexo, converge ou diverge.

Answer 1

Bom dia!

Solução!

$A)Se \displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} } b _{n} converge e an \leq bn,\forall n\ \textgreater \ N \in \mathbb{N} , entao \displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} } a _{n} converge.\\\\\\\\\\\ B)Se \displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} } b _{n} diverge e bn \leq an,\forall n\ \textgreater \ N \in \mathbb{N}, entao \displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} } a _{n} diverge .$


Com essas duas condições acima,vamos agora determinar um bn adequado para comparação,pois é importante uma escolha ja sabendo se é convergente ou divergente.

$\displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} }= \dfrac{1}{n^{2}}~~ convergente$

Então!

$a_{n}= \displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} } \dfrac{2+cos(n)}{n^{2}} \\\\\\\\\ b_{n}=\displaystyle{\sum _{n=1} ^{\infty} } \dfrac{1}{n^{2}}$



$lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{an}{bn}\ \textgreater \ 0 \\\\\\\\ lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{2+cos(n)}{n^{2}}}{\dfrac{1}{n^{2}}}$


$lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{2+cos(n)}{n^{2}} \times \dfrac{n^{2}}{1} \\\\\ lim_{n\rightarrow \infty}2+cos(n)\ \textgreater \ 0$


Justificativa:

Para qualquer n a serie cresce, com isso podemos concluir que a serie é convergente

$\boxed{Resposta: Convergente}$

Bom dia!
Bons estudos!