Question

Escreva as condições de a e b para que a equação ax²+y²+4x-6y+b=0 seja uma circunferência.
Ajudem pleaseeeeee

Answer 1

A equação

$ax^{2}+y^{2}+4x-6y+b=0$

será uma circunferência somente se:


$\bullet~~$ O coeficiente dos termos quadráticos em $x^{2}$ e $y^{2}$ devem ser iguais.

Como o coeficiente de $y^{2}$ é $1,$ o coeficiente de $x^{2}$ também é $1.$


Portanto, $\boxed{\begin{array}{c} a=1 \end{array}}\,.$


$\bullet~~$ Uma vez que temos $a=1,$ a equação fica

$x^{2}+y^{2}+4x-6y+b=0\\\\ x^{2}+4x+y^{2}-6y=-b$


Para completar os quadrados no lado esquerdo, adicionamos $+4+9$ aos dois membros da equação:

$x^{2}+4x+4+y^{2}-6y+9=-b+4+9\\\\ (x^{2}+4x+4)+(y^{2}-6y+9)=-b+13\\\\ (x+2)^{2}+(y-3)^{2}=-b+13$


O lado esquerdo está escrito como uma soma de quadrados. Para que a equação represente uma circunferência, a expressão do lado direito deve ser positiva:

$-b+13>0\\\\ \boxed{\begin{array}{c} b<13 \end{array}}$

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Resposta: $a=1~~\text{ e }~~b<13.$