Xdy=y(y^2+1)dx
Gostaria de aguda pra essa equação

Respostas

respondido por: Zadie

A solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada é

$\Large\text{$\tt y=\pm\sqrt{\dfrac{x^2}{c-x^2}}.$}$

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É dada a seguinte equação diferencial ordinária

$\Large\text{$\tt x\,dy=y(y^2+1)\,dx.$}$

Veja que se trata de uma EDO linear de primeira ordem de variáveis separáveis.

Então, vamos resolvê-la usando o método de separação de variáveis.

$\Large\begin{gathered}\tt x\,dy=y(y^2+1)\,dx\\\\\tt \dfrac{1}{y(y^2+1)}\,dy=\dfrac{1}{x}\,dx\\\\\tt \int\dfrac{1}{y(y^2+1)}\,dy=\int\dfrac{1}{x}\,dx\\\\\tt \underbrace{\tt \normalsize \int\dfrac{1}{y^3+y}\,dy}_{I}=\underbrace{\tt \normalsize\int\dfrac{1}{x}\,dx}_{II}\\\\\end{gathered}$

Integral I

$\Large\begin{gathered}\tt \int\dfrac{1}{y^3+y}\,dy=\int\dfrac{1}{\left(y^{-2}+1\right)y^3}\,dx\end{gathered}$

Faremos uma mudança de variável para calcular essa integral. Seja $\tt u=y^{-2}+1.$ Então, $\tt du= -2y^{-3}\,dy,$ ou seja, $\tt -\dfrac{1}{2}du=y^{-3}\,dy.$

Desse modo, segue que:

$\Large\begin{aligned}\tt \int\dfrac{1}{y^3+y}\,dy&=\tt\int\dfrac{1}{\left(y^{-2}+1\right)y^3}\,dx\\\\&=\tt \int\dfrac{1}{u}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\,du\right)\\\\&=\tt -\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{u}\,du\\\\&\tt=-\dfrac{1}{2}\ln|u|+c_1\\\\&\tt=-\dfrac{1}{2}\ln|y^{-2}+1|+c_1\\\\&\tt=-\dfrac{1}{2}\ln(y^{-2}+1)+c_1\end{aligned}$

Integral II

Essa integral é imediata.

$\Large\begin{gathered}\tt \int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+c_2.\end{gathered}$

Dessa maneira, temos:

$\Large\begin{gathered}\tt\displaystyle \tt -\frac{1}{2}\ln(y^{-2}+1)+c_1=\ln|x|+c_2\\\\\tt-\frac{1}{2}\ln(y^{-2}+1)=\ln|x|+c_3\\\\\tt\ln(y^{-2}+1)=\ln|x|^{-2}+c_4\\\\\tt e^{\ln(y^{-2}+1)}=e^{\ln|x|^{-2}}\cdot e^{c_4}\\\\\tt y^{-2}+1=\dfrac{c}{x^2}\\\\\tt y^{-2}=\frac{c-x^2}{x^2}\\\\\tt y^{2}=\frac{x^2}{c-x^2}\\\\\tt y=\pm\sqrt{\frac{x^2}{c-x^2}}.\end{gathered}$