Question

Calcule a integral tripla a seguir: em que R = [-1, 1] x [-1, 1] x [-1, 1], e assinale a alternativa correta: Alternativas Alternativa 1: 1/2. Alternativa 2: 2/3. Alternativa 3: 5/2. Alternativa 4: 8/27. Alternativa 5: 9/20.

Answer 1

➜ (4) A partir dos conhecimentos sobre Integrais Múltiplas, concluímos que o resultado da integral tripla é 8/27.

☞ A integral tripla de $\large{f(x,y,z)}$ sobre a região V é:

$\Large{\displaystyle\iiint_{V} f( x,y,z) dV}$

☞ Se a região V for limitada por $\large{z_{1} ,\ z_{2} ,\ y_{1} ,\ y_{2} ,\ x_{1} ,\ x_{2}}$, a integral tripla

$\Large{\text{ \displaystyle=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\int _{y_{1}}^{y_{2}}\int _{z_{1}}^{z_{2}} f( x,y,z) dzdydx }}$

♦︎ Na sua questão, temos:

$\large{\begin{cases}-1\leqslant x\leqslant 1\\-1\leqslant y\leqslant 1\\-1\leqslant z\leqslant 1\\f( x,y,z) =x^{2} y^{2} z^{2}\end{cases}}$

∴   A integral tripla é   $\large{\displaystyle\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1} \ x^{2} y^{2} z^{2} \ dzdydx}$.

Nesse caso, os limites de integração são constantes, ou seja, podemos integrar na ordem que quisermos.

Vamos integrar na ordem dz, dy, dx. Integramos primeiro em relação a z, tratando x e y como constantes. Depois integraremos o resultado em relação a y, mantendo x constante. E finalmente integraremos em relação a x.

$\large{\text{ \begin{array}{l}\displaystyle\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\boxed{\int _{-1}^{1} \ x^{2} y^{2} z^{2} \ dz} dydx=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\boxed{x^{2} y^{2}\frac{z^{3}}{3}\Bigl|_{-1}^{1}} dydx\\\\=\displaystyle\frac{1}{3}\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\boxed{x^{2} y^{2} z^{3}\Bigl|_{-1}^{1}} dydx\\\\=\displaystyle\frac{2}{3}\int _{-1}^{1}\boxed{\int _{-1}^{1} x^{2} y^{2} dy} dx\end{array} }}$

.

$\large{\text{ \begin{array}{l}=\displaystyle\frac{2}{9}\int _{-1}^{1}\boxed{x^{2} y^{3}\Bigl|_{-1}^{1}} dx\\\\=\displaystyle\frac{4}{9}\int _{-1}^{1} x^{2} dx\\\\=\frac{2}{27} x^{3}\Bigl|_{-1}^{1}\\\\=\frac{8}{27}\end{array} }}$

∴   A integral tripla resulta em 8/27, o que consta na alternativa 4__✍️

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