Determine o conjunto solução da equação trigonometrica sen2x - 1 = 0 para o intervalo [0,2π]

Respostas

respondido por: Zadie

O conjunto solução da equação dada é

$\Large\text{$\tt S=\left\{\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right\}$.}$

_____

É dada a equação trigonométrica

$\Large\text{$\tt\text{sen}(2x)-1=0$}$

e pede-se que se determine seu conjunto solução no intervalo $\tt[0,2\pi].$

Note que

$\Large\begin{aligned}&\qquad\tt\text{sen}(2x)-1=0\\\\&\implies\tt\text{sen}(2x)=1.\end{aligned}$

Além disso, como $\tt 0\leqslant x\leqslant 2\pi,$ então $\tt0\leqslant 2x\leqslant4\pi.$ Desse modo, há dois possíveis valores para $\tt 2x,$ a saber, $\tt\dfrac{\pi}{2}$ ou $\tt\dfrac{5\pi}{2}.$

Desse modo, segue que

$\Large\begin{aligned}\tt2x&=\dfrac{\pi}{2}\\\\\tt x&=\tt\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\tt x&=\tt \dfrac{\pi}{4}\end{aligned}$

$\Large\begin{aligned}\tt2x&=\dfrac{5\pi}{2}\\\\\tt x&=\tt\dfrac{5\pi}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\tt x&=\tt \dfrac{5\pi}{4}.\end{aligned}$

Portanto, o conjunto solução que se queria determinar é

$\Large\boxed{\boxed{\tt \orange{S=\left\{\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right\}}.}}$

Para ver questões relacionadas, acesse:

brainly.com.br/tarefa/5810312;
brainly.com.br/tarefa/24751936.

Anexos:

Zadie: Depois eu edito e digito os cálculos

leitehugo155: valeu!!

respondido por: solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o conjunto solução da referida equação trigonométrica é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = A \cup B\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sendo:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A = \left\{x \in \mathbb{R}\:|\: x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi,\: \forall k \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B = \left\{x \in \mathbb{R}\:|\: x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi,\: \forall k \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} \sin 2x - 1 = 0\\I = \left[0,\,2\pi\right]\end{cases}$

Resolvendo a equação, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}\sin 2x - 1 & = 0\\\sin 2x & = 1\\2x & = \arcsin(1)\\2x & = \frac{\pi}{2}\\x & = \frac{\pi}{2\cdot2} \Longrightarrow \Large\begin{cases} x' = \frac{\pi}{4}rad\\x'' = \frac{3\pi}{4}rad\end{cases}\end{aligned} $}$

Sabemos que o conjunto solução da equação é a união dos conjuntos formados pelas medidas dos arcos côngruos aos arcos x' e x'', ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} A = \left\{x \in \mathbb{R}\:|\: x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi,\: \forall k \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} B = \left\{x \in \mathbb{R}\:|\: x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi,\: \forall k \in \mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$

✅ Portanto, o conjunto solução é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = A \cup B\end{gathered}$}$