Question

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Answer 1

Resposta:

O discriminante de uma equação do segundo grau tem algumas funções na fórmula de Bháskara

O discriminante de uma equação do segundo grau é a parte da fórmula de Bháskara na qual se deve calcular a raiz quadrada. Essa parte é representada pela letra grega Δ (delta) e pode ser encontrada por meio da seguinte equação:

Δ = b2 – 4·a·c

Sendo assim, a fórmula de Bháskara, na realidade, é a seguinte:

x = – b ± √(b2 – 4·a·c)

    2·a

Entretanto, essa fórmula é ensinada em duas etapas por questões didáticas e pela importância do discriminante em outros cálculos.

Quantidade de soluções de uma equação

As equações do segundo grau podem ter até duas soluções reais. Por meio do discriminante, é possível descobrir quantas soluções a equação terá. Muitas vezes, o exercício solicita isso em vez de perguntar quais as soluções de uma equação. Então, nesse caso, não é necessário resolvê-la, mas apenas fazer o seguinte:

Se Δ < 0 a equação não possui soluções reais

Se Δ = 0 a equação possui apenas uma solução real

Se Δ > 0 a equação possui duas soluções reais

Isso acontece porque, na fórmula de Bháskara, calcularemos a raiz de Δ. Se o discriminante é negativo, é impossível calcular essas raízes. Além disso, observe o exemplo abaixo para verificar o porquê de uma equação do segundo grau possuir duas raízes.

x2 = 16

x = ± √16

O sinal ± aparece porque tanto 4·4 = 16 quanto (– 4)(– 4) = 16. Logo, a equação acima possui dois resultados. É impossível que ela possua mais do que isso, pois é uma equação do segundo grau.

Estudo dos sinais de uma equação do segundo grau

O estudo dos sinais é justamente o uso do valor do discriminante para determinar quantas soluções reais a equação possui. É assim chamado porque, aliado ao valor do coeficiente “a”, pode ser usado para descobrir em qual intervalo uma função do segundo grau é positiva e/ou negativa. Nas equações, o estudo dos sinais resume-se a:

Se Δ < 0, nenhuma solução real

Se Δ = 0, uma solução real (ou duas soluções iguais)

Se Δ > 0, duas soluções reais distintas

“Solução real” quer dizer que os valores de x que a equação pode assumir pertencem ao conjunto dos números reais. Avaliando a equação do segundo grau em que Δ < 0, em outro conjunto numérico, pode ser que ela possua mais soluções. Esse conjunto no qual a equação que possui Δ < 0 tem mais soluções é chamado de conjunto dos números complexos.

Vértice de uma função do segundo grau

Além disso, nas funções do segundo grau, o valor do discriminante é usado para determinar a posição do vértice com relação ao eixo y. Sendo xv e yv as coordenadas do vértice da função do segundo grau, a coordenada yv pode ser encontrada fazendo uso da seguinte fórmula:

yv = – Δ

        4a

Lembrando que encontrar o vértice de uma função tem a importante finalidade de determinar seu ponto de máximo ou de mínimo.

Answer 2

$\large{a) \: S = \{1,5, \: 0\}}$

$\large{b) \: S = \{9, -9\}}$

$\large{c) \: S = \{8,48528137, -8,48528137\}}$

$\large{d) \: S = \{3, \: 0\}}$

$\large{e) \: S = \{9, \: 0\}}$

$\large{f) \: S = \{0,5, \: 0\}}$

$\large{g) \: S = \{0, -7\}}$

$\large{h) \: S = \{0,66666667, \: 0\}}$

Nesta questão, encontraremos as soluções (raízes reais) dessas equações de 2° grau por meio da fórmula de Bhaskara, tal que é dada por:

$\large{\boxed{\begin{array}{lr}x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\end{array}}}$

Efetuando os cálculos, eventualmente poderemos encontrar zero, uma ou duas raízes reais. Isso pode ser definido previamente via análise do valor do discriminante (∆), que é calculado através da expressão que está dentro do radical, acima.

Mais precisamente, temos que:

• se ∆ > 0, são duas raízes reais;

• se ∆ = 0, é uma raiz real;

• se ∆ < 0, são zero raízes reais.

Além disso, vale lembrar que as equações onde a ≠ 0 e b = 0 ou a = 0 e b ≠ 0 podem ser resolvidas igual às de 1° grau, isolando a incógnita.

Na resolução das equações de 2° grau, é crucial saber identificar os coeficientes. Portanto, vamos revisá-los:

• coeficiente a = aquele que acompanha o x^2;

• coeficiente b = aquele que acompanha o x;

• coeficiente c = aquele que fica sozinho (termo independente).

→ Agora, vamos aos cálculos:

$\large{a) \: 2y^2 - 3y = 0} \\ \\ \LARGE\Downarrow \\ \\ \large{x = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times (2) \times (0)}}{2 \times (2)}} \\ \\ \large{x = \dfrac{3 \pm 3}{4}} \\ \\ \large{\boxed{x_1 = \dfrac{3 \: + \: 3}{4} = 1,5}} \\ \\ \large{\boxed{x_2 = \dfrac{3 \: - \: 3}{4} = 0}}$

$\large{b) \: m^2 - 81 = 0} \\ \\\LARGE\Downarrow \\ \\ \large{m^2 = 81} \\ \\ \large{m = \sqrt{81}} \\ \\ \large{\boxed{m = \pm \: 9}}$

$\large{c) \: 2p^2 - 144 = 0} \\ \\ \LARGE\Downarrow \\ \\ \large{2p^2 = 144} \\ \\ \large{p^2 = 72} \\ \\ \large{p = \sqrt{72}} \\ \\ \large{\boxed{p = \pm \: 8,48528137}}$

$\large{d) \: 3s^2 - 9s = 0} \\ \\ \LARGE\Downarrow \\ \\ \large{s = \dfrac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \times (3) \times (0)}}{2 \times (3)}} \\ \\ \large{s = \dfrac{9 \pm 9}{6}} \\ \\ \large{\boxed{s_1 = \dfrac{9 \: + \: 9}{6} = 3}} \\ \\ \large{\boxed{s_2 = \dfrac{9 \: - \: 9}{6} = 0}}$

$\large{e) \: \dfrac{a^2}{4} - 9a = 0} \\ \\ \LARGE\Downarrow \\ \\ \large{a^2 - 9a = 0} \\ \\ \large{a = \dfrac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \times (1) \times (0)}}{2 \times (1)}} \\ \\ \large{a = \dfrac{9 \pm 9}{2}} \\ \\ \large{\boxed{a_1 = \dfrac{9 \: + \: 9}{2} = 9}} \\ \\ \large{\boxed{a_2 = \dfrac{9 \: - \: 9}{2} = 0}}$

$\large{f) \: 0,5y^2 - 0,25y = 0} \\ \\ \LARGE\Downarrow \\ \\ \large{y = \dfrac{-(-0,25) \pm \sqrt{(-0,25)^2 - 4 \times (0,5) \times (0)}}{2 \times (0,5)}} \\ \\ \large{y = \dfrac{0,25 \pm 0,25}{1}} \\ \\ \large{\boxed{y_1 = \dfrac{0,25 \: + \: 0,25}{1} = 0,5}} \\ \\ \large{\boxed{y_2 = \dfrac{0,25 \: - \: 0,25}{1} = 0}}$

$\large{g) \: x(x + 7) = 0} \\ \\ \LARGE\Downarrow \\ \\ \large{x^2 + 7x = 0} \\ \\ \large{x = \dfrac{-(7) \pm \sqrt{(7)^2 - 4 \times (1) \times (0)}}{2 \times (1)}} \\ \\ \large{x = \dfrac{-7 \pm 7}{2}} \\ \\ \large{\boxed{x_1 = \dfrac{-7 \: + \: 7}{2} = 0}} \\ \\ \large{\boxed{x_2 = \dfrac{-7 \: - \: 7}{2} = -7}}$

$\large{h) \: \dfrac{3b^2}{4} - \dfrac{2b}{5} = 0} \\ \\ \LARGE\Downarrow \\ \\ \large{3b^2 - 2b = 0} \\ \\ \large{b = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times (3) \times (0)}}{2 \times (3)}} \\ \\ \large{b = \dfrac{2 \pm 2}{6}} \\ \\ \large{\boxed{b_1 = \dfrac{2 \: + \: 2}{6} = 0,66666667}} \\ \\ \large{\boxed{b_2 = \dfrac{2 \: - \: 2}{6} = 0}}$

Obs.: Perceba que quando a incógnita muda também devemos mudá-la na fórmula. A incógnita x é apenas a incógnita-base dessa fórmula, então não há problema nenhum em alterá-la!

Saiba mais em:

brainly.com.br/tarefa/9847148

brainly.com.br/tarefa/15076013

brainly.com.br/tarefa/20718756

brainly.com.br/tarefa/21167222