Question

A circunferência x²+y²=8 e a reta x+y=3 cortam-se nos pontos A e B. Sendo O o centro da circunferência, podemos calcular a área do triângulo OAB, igual a: 

A responta é 3√7/2

Quem puder explicar didaticamente eu agradeço.

Answer 1

x² + y² = 8 (I)
x + y = 3 (II) ==> y = 3 - x
temos 2 equações e 2 incógnitas. É "só" resolver
(x+y)² = 3²
x² + y² + 2xy = 9 como x² + y² = 8, fica
8 + 2xy = 9
2xy = 1 como y = 3-x , visto acima
2x(3-x) = 1
-2x² + 6x - 1 = 0 delta = 36 - 8 = 28
x' = (-6 + √28)/-4 = (3 - √7) / 2 (abcissa de A)
x' + y' = 3 ==> y' = (3 + √7) / 2 (ordenada de A)

x" = (3 + √7) / 2 (abcissa de B)
x" + y" = 3 ==> y" = (3 - √7) / 2 (ordenada de B)

O (origem)  = (0,0)
Com 3 pontos (O , A , B ) acha-se a área resolvendo o determinante da matriz e dividindo por 2
0  0  1
x' y'  1
x" y" 1
(matriz de ordem 3)
mas há um modo mais fácil : escolhe-se um ponto, p.ex. (0,0) e monta-se uma matriz de ordem 2
(x',y') - (0,0) = (x' , y')
(x",y") - (0,0) = (x" , y")
e calcula-se 1/2 desse determinante (em valor absoluto)
x'  y'
x"  y"
= 1/2 (x'y" - x"y') substituindo os valores já calculados
= 1/2 (3 - √7) / 2 * (3 - √7) / 2 - (3 + √7) / 2 * (3 + √7) / 2
 = [(9 + 7 - 6√7) - (9 + 7 + 6√7)] / 8
= -12√7 / 8
= -3√7 / 2 ou , tomando-se o valor absoluto
3√7 / 2 (resp)
Será que há um modo mais simples ?