Question

Um time de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio campistas e 2 atacantes. Considerando-se que o técnico dispõe de 2 goleiros, 9 zagueiros, 9 meio campistas e 7 atacantes, determine o número de maneiras possíveis que esse time pode ser formado.​

Answer 1

Resposta:

Existem 666.792 maneiras de se formar o time.

Explicação passo a passo:

Resolveremos por combinações ($C^{n}_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$), isso porque uma combinação refere-se às várias maneiras de selecionarmos itens de um determinado grupo NÃO importando a ordem, e em partes.

Goleiros:

$C^{n}_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\\\C^{2}_{1}=\frac{2!}{1!(2-1)!}=\frac{2!}{1!1!}=\frac{2*1}{1*1}=\frac{2}{1}=2$

Zagueiros

$C^{n}_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\\\C^{9}_{4}=\frac{9!}{4!(9-4)!}=\frac{9!}{4!5!}=\frac{9*8*7*6*5!}{4*3*2*5!}=3*2*7*3=126$

Meio campistas

(veja que será a mesma combinação que fizemos com os zagueiros)

$C^{n}_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\\\C^{9}_{4}=\frac{9!}{4!(9-4)!}=\frac{9!}{4!5!}=\frac{9*8*7*6*5!}{4*3*2*5!}=3*2*7*3=126$

Atacantes

$C^{n}_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\\\C^{7}_{2}=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7!}{2!5!}=\frac{7*6*5!}{2*1*5!}=7*3=21$

Para formarmos o time, precisamos do goleiro E dos zagueiros E dos meio campistas E dos atacantes. Portanto, realizaremos uma multiplicação entre as combinações acima.

Desse modo, o número de maneiras possíveis de formar esse time é:

$C^{2}_{1}*C^{9}_{4}*C^{9}_{4}*C^{7}_{2}=2*126*126*21=666.792$