Question

quantos triangulos podem ser determinados por 8 pontos num plano nao havendo 3 pontos colineares?

RESOLUÇÃO POR FAVOR!!

Answer 1

Três pontos $A,\,B,\,C$ distintos e não colineares formam um único triângulo, independente da ordem dos pontos.

Como a ordem de escolha dos pontos é irrelevante (o triângulo $ABC$ é o mesmo triângulo $CBA$ ) temos um problema de combinações simples:


Combinações de $8$ elementos tomados $3$ a $3:$

$C_{8,\;3}=\dfrac{8!}{3!\cdot (8-3)!}\\\\\\ =\dfrac{8!}{3!\cdot 5!}\\\\\\ =\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}{3!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}\\\\\\ =\dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}\\\\\\ =56\text{~tri\^{a}ngulos}.$