Question

Uma barra de ferro α =12*10^-6 °C e outra de bronze α =18*10^-6 apresentam o mesmo comprimento a 20°C.Quando a temperatura é de 120 °C, a diferença entre seu comprimento é de 1,2 mm.

Determine o comprimento em M de cada barra a 20°C.

Answer 1

Encontramos que 2 metros é o valor do comprimento inicial da barra (para T=20ºC) ao usar a equação da dilatação linear $\Delta l = l_0\cdot\alpha\cdot\Delta T$

Fazemos o estudo para cada barra separadamente, mas levando em conta que ambos tem o mesmo $l_0$:

Para o ferro:

$\Delta l = l_0\alpha\Delta T$

$l-l_0 = l_0\alpha(120-20)$

$l = l_0 + 100l_0\alpha$

$l = l_0(1+100\alpha)$

Para o bronze:

$\Delta l' = l_0\alpha'\Delta T'$

$\Delta l' = l_0\alpha'\Delta T'$

$l' = l_0 + 100l_0\alpha'$

$l' = l_0(1+100\alpha')$

Como a diferença entre $l$ e $l'$ é de 1,2mm, podemos escrever a seguinte equação:

$l'-l =1,2mm= l_0(1+100\alpha')-l_0(1+100\alpha)$

Ao substituir os valores do ferro em $\alpha$ e do bronze em $\alpha'$, conseguimos encontrar o comprimento inicial da barra:

$1,2mm= l_0(1+100\cdot18\cdot10^{-6})-l_0(1+100\cdot12\cdot10^{-6})$

Como a diferença de temperatura vale 100, podemos usar isso para simplificar as potências:

$1,2mm= l_0(1+18\cdot10^{-4})-l_0(1+12\cdot10^{-4})$

Agora fatoramos o $l_0$ e em seguida isolamos $l_0$:

$1,2mm= l_0(1+18\cdot10^{-4}-1-12\cdot10^{-4})$

$1,2mm= l_0(18\cdot10^{-4}-12\cdot10^{-4})$

$1,2mm= l_0(6\cdot10^{-4})$

$l_0=\dfrac{1,2mm}{6\cdot10^{-4}}$

Convertendo 1,2mm para metro, temos que $1,2 mm = 1,2\cdot10^{-3}m$

$l_0=\dfrac{1,2\cdot10^{-3}m}{6\cdot10^{-4}}$

$l_0=0,2\cdot\dfrac{10^{-3}m}{10^{-4}}\implies l_0 = 0,2\cdot10m = 2 m$

Portanto, o tamanho de cada barra em 20ºC é de 2 metros.