Resolva a equação trigonométrica 4.senx = 2, com x no primeiro quadrante.

Respostas

respondido por: MarcosPCV

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4sen(x) = 2

sen(x) = 2/4

sen(x) = 1/2

x = 30° ← Resposta

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Att: MarcosPCV

respondido por: solkarped

✅ Uma vez tendo resolvido os cálculos, percebemos que o conjunto solução da referida equação trigonométrica é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \left\{x\in\mathbb{R}\:|\: x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi,\:k\in\mathbb{Z}\right\}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a equação trigonométrica:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 4 \sin x = 2\end{gathered}$}$

Resolvendo a referida equação, temos:

$\Large \text {$\begin{aligned}4 \sin x & = 2\\\sin x & = \frac{2}{4}\\\sin x & = \frac{1}{2}\\x & = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\\x & = 30^{\circ}\\x & = \frac{\pi}{6}rad\end{aligned} $}$

Sabemos que a função seno é ímpar, isto é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(-x) = -f(x)\end{gathered}$}$

Além disso, percebemos que no ciclo trigonométrico existe dois ângulos cujo seno vale "1/2". Estes ângulos são:

$\LARGE\begin{cases} \alpha = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}rad\\\beta = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} = \frac{5\pi}{6}rad\end{cases}$

Porém, a questão está solicitando apenas o valor de x válido para o primeiro quadrante. Então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}rad\end{gathered}$}$

Desse modo, o conjunto solução da referida equação trigonométrica é o conjunto formado por todas as medidas dos arcos côngruos aos arcos de medidas 30°, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = \left\{x\in\mathbb{R}\:|\: x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi,\:k\in\mathbb{Z}\right\}\end{gathered}$}$