Question

A relação fundamental da trigonometria: senzo + cos2 o = 1, onde o é um ângulo do círculo trigonométrico, é também chamada de mãe porque é a partir dela que temos as demais relações trigonométricas por isso também chamadas de filhas. Agora considerando um ângulo e do círculo trigonométrico, de modo que, cossec o = 7/5, o valor da cotg2 o é igual a??
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Answer 1

Resposta:  $\cot^2(\theta)=\dfrac{24}{25}$

Resolução:

Pela Lei Fundamental da Trigonometria, sabemos que:

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

Devemos relembrar algumas outras Fórmulas Trigonométricas, como:

$\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

$\csc(\theta)=\dfrac{1}{\sin(\theta)}$

$\cot(\theta)=\dfrac{1}{\tan(\theta)}=\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$

Sabemos ainda que:

$\csc{\theta}=\dfrac{7}{5}$

Com tudo isto, vamos resolver o exercício.

Comecemos por determinar o valor do Seno de Teta ( $\sin(\theta)$ ):

    $\csc(\theta)=\dfrac{1}{\sin(\theta)}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{7}{5}=\dfrac{1}{\sin(\theta)}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\sin(\theta)=\dfrac{5}{7}$

Com o valor do Seno, vamos agora determinar os valores do Cosseno de Teta ( $\cos(\theta)$ ):

    $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{5}{7}\right)^2+\cos^2(\theta)=1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\dfrac{25}{49}+\cos^2(\theta)=1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cos^2(\theta)=1-\dfrac{25}{49}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cos^2(\theta)=\dfrac{49}{49}-\dfrac{25}{49}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cos^2(\theta)=\dfrac{24}{49}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cos(\theta)=\pm\sqrt{\dfrac{24}{49}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cos(\theta)=\pm\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{49}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cos(\theta)=\dfrac{2\sqrt{6}}{7}\quad\vee\quad\cos(\theta)=-\dfrac{2\sqrt{6}}{7}$

Como vamos calcular o Quadrado da Cotangente de Teta ( $\cot^2(\theta)$ ), o sinal da Cotagente ( $\cot(\theta)$ ) não é importante e, por este motivo, podemos usar apenas um dos valores do Cosseno ( $\cos(\theta)$ ).

Neste caso, vou escolher o positivo, mas podes usar o negativo.

    $\cot^2(\theta)=\left(\dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\right)^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cot^2(\theta)=\left(\dfrac{\dfrac{2\sqrt{6}}{7}}{\dfrac{5}{7}}\right)^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cot^2(\theta)=\left(\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cot^2(\theta)=\dfrac{\left(2\sqrt{6}\right)^2}{5^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cot^2(\theta)=\dfrac{4\times6}{25}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\cot^2(\theta)=\dfrac{24}{25}$

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