Question

A figura abaixo representa um octógono regular ABCDEFGH com 8 cm de lado. Sendo M o ponto médio do lado AB, calcule a medida do segmento MC.

Observação: sabe-se que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por Sn = (n – 2).180º.

Answer 1

A medida do segmento MC é √88 cm ou 2√22 cm.

Explicação:

Pela figura, nota-se a formação do triângulo BCM.

O segmento MC é o lado oposto ao ângulo interno do octógono regular.

Temos as medidas dos lados adjacentes a esse ângulo: BC = 8 cm e BM = 8/2 = 4 cm.

Assim, podemos utilizar a lei dos cossenos para determinar a medida de MC.

MC² = BC² + BM² - 2·BC·BM·cos θ

O ângulo interno de um polígono regular é dado por:

ai = (n – 2).180°

             n

Um octógono possui 8 lados, logo n = 8.

θ = (8 – 2).180°

             8

θ = 6.180°

         8

θ = 1080°

        8

θ = 135°

Voltando para a lei dos cossenos, temos:

MC² = BC² + BM² - 2·BC·BM·cos θ

MC² = 8² + 4² - 2·8·4·cos 135°

MC² = 64 + 16 - 64·(-√2/2)

MC² = 80 + 32√2

MC² = 80 + 4√2·√2

MC² = 80 + 4√4

MC² = 80 + 4·2

MC² = 80 + 8

MC² = 88

MC = √88 cm ou MC = 2√22 cm