Question

Mostre por meio de um exemplo que $\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]$ pode esxistir mesmo que nem $\lim_{x \to a}f(x)$ nem $\lim_{x \to a}g(x)$ existam.

Answer 1

Consideremos as seguintes funções:

$\mathsf{f(x)=\dfrac{x}{|x|}~~\text{ e }~~g(x)=1-\dfrac{x}{|x|}}$


Sabemos que

Não existe $\mathsf{\underset{x\to 0}{\ell im}~f(x);}$

Não existe $\mathsf{\underset{x\to 0}{\ell im}~g(x);}$


Mas o limite da soma das duas funções existe:

$\mathsf{\underset{x\to 0}{\ell im}~[f(x)+g(x)]}\\\\ \mathsf{=\underset{x\to 0}{\ell im}~\left[\,\dfrac{x}{|x|}+1-\dfrac{x}{|x|}\,\right]}\\\\\\ \mathsf{=\underset{x\to 0}{\ell im}~1}=1.$