Question

. O esboço do gráfico que melhor representa a função do 2º grau definida por y = x² – x – 1 é: *​

Answer 1

Seja f(x) = x² - x - 1.

Quando f(x) = 0, ou seja, x² - x - 1 = 0 temos como solução positiva a constante $\varphi$, que é tida como Proporção Áurea (golden ratio).

Em outras palavras, temos x = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ = $\varphi$ como solução positiva, e x = $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ = $-\frac{1}{\varphi}$ = $1-\varphi$ como solução negativa.

A contante $\varphi$ segue o seguinte lema: "A proporção áurea existe quando uma linha é dividida em duas partes, e a maior parte (a) dividida pela maior parte (b) é igual a soma de (a) + (b) dividido por (a), onde ambos são iguais à $\varphi$."

Traduzindo isto:

$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}=\varphi$

Rearranjando, temos:

$\displaystyle \frac{a}{b}=1+\left (\frac{a}{b}\right )^{-1}=\varphi$

Uma vez que $\frac{a}{b}$ = $\varphi$, temos a equação:

$\displaystyle \varphi=1+(\varphi)^{-1}\\\\\varphi=1+\frac{1}{\varphi}\\\\\varphi ^{2}=\varphi+1\\\varphi ^{2}-\varphi-1=0$

Onde temos como solução positiva:

$\displaystyle \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.61803398874989484820...$

Poderiamos aproximar $\varphi$ das seguintes formas:

Por frações contínuas:

$\displaystyle \varphi=1+\frac{1}{\varphi}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\varphi}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\varphi}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\ddots}}}=1.618...$

Por raízes quadradas contínuas:

$\displaytyle \varphi ^{2}=\varphi+1\\\\\varphi=\sqrt{1+\varphi}=\sqrt{1+\sqrt{1+\varphi}}=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\varphi}}}=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{\cdots}}}=1.618...$

Ambas as aproximações convergem para $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

A proporção divina (proporção áurea) também está relacionada à sequência de Fibonacci, veja (o próximo termos é sempre a soma dos dois anteriores):

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...

Dividindo dois termos consecutivos (sempre o maior no númerador), temos:

1/1 = 1

2/1 = 2

3/2 = 1.5

5/3 = 1.666...

8/5 = 1.6

13/8 = 1.625

21/13 = 1.61538461538...

34/21 = 1.61904761904...

55/34 = 1.61764705881...

89/55 = 1.61818181818...

144/89 = 1.61797752808...

233/144 = 1.61805555555...

377/233 = 1.61802575106...

Percebeu? As aproximações são cada vez melhores:

354224848179261915075 / 218922995834555169026

= 1.618033988749894848205...

Estes são, respectivamente, os 100º e 99º termos da sequência de Fibonacci.

Seja $F_n$ a sequência de Fibonacci. Podemos afirmar o seguinte:

$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi$

A constante $\varphi$ também está relacionada com a geometria, arte, ciências e a natureza (veja as imagens anexadas)

O gráfico de y = x² - x - 1 é a letra A), pois intercepta o eixo x em x = $\varphi$ e x = $1-\varphi$ e possui concavidade voltada para cima.

Espero que você tenha entendido.

Bons estudos, ma dear.