Question

um triângulo possui seus vértices localizados nos ponto P(4,1),Q(4,1) e R(0,y). para que o triângulo tenha área a 6. y deve ser igual? R:(9,0)

Answer 1

Vamos lá.

Bem, vou considerar que os vértices do triângulo são estes:

P(1; 4); Q(4; 1) e R(0; y).
Agora note: como a área de um triângulo é dada por "1/2" vezes o módulo do determinante da matriz formada pelas coordenadas dos seus vértices. Então vamos formar essa matriz e calcular o seu determinante (módulo), igualando-o a "6", que é o valor da área do triângulo. Assim:
 
........||1...4...1|1...4||
(1/2)*||4...1...1|4...1|| = 6 ------ desenvolvendo, temos:
........||0..y..1||0...y||

(1/2)*|1*1*1+4*1*0+1*4*y - (0*1*1+y*1*1+1*4*4)| = 6
(1/2)*|1 + 0 + 4y - (0 + y + 16)| = 6
(1/2)*|1 + 4y - (y + 16)| = 6
(1/2)*|1+4y - y - 16| = 6 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(1/2)*|3y - 15| = 6 ----- veja que isso pode ser escrito assim:
1*|3y - 15|/2 = 6 ----- multiplicando em cruz, teremos:
|3y - 15| = 2*6
|3y - 15| = 12 ------ agora veja que temos aqui o módulo de "3y-15" igual a "12". Agora vamos às condições de existência de funções modulares.
Vamos ver:

i) Para 3y-15 ≥ 0, teremos que:

3y - 15 = 12
3y = 12 + 15
3y = 27
y = 27/3
y = 9 <---- Este é um valor possível para "y".

ii) Para 3y - 15 < 0, teremos:

-(3y - 15) = 12 ---- retirando-se os parênteses, teremos:
- 3y + 15 = 12
- 3y = 12 - 15
- 3y = - 3 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
3y = 3
y = 3/3
y = 1 <---- Este outro valor possível para "y".

iii) Assim, teremos que "y" poderá assumir os seguintes valores:

y = 9 ou y = 1 <---- Esta é a resposta. Este são os possíveis valores de "y", considerando que o vértice R da questão é: R(0; y).
Nesse caso, o vértice "R", que, na questão é: R(0; y) poderá ser:

R(0; 9) ou R(0; 1).

E o conjunto-solução, considerando que "y" poderá ser igual a "9" ou igual a "1", poderá ser dado assim:

S = {9; 1}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.