A equação do 2º grau: x2
+ 7x + 6 = 0, possui duas raízes reais distintas. Sabendo-se que a
maior delas é também raiz da equação 3x2
+ bx = 0, então o valor de b é:
Resp.: ____________________________________________________
02) Sendo x1 e x2 as raízes da equação x
2
– 6x + 8 = 0, o resultado do produto x1٠x2 é:
Resp.: ____________________________________________________
03) Determine o valor de K na equação x2
+ Kx – 64 = 0 de modo que suas raízes sejam iguais em
módulo, porém com sinais opostos.
Resp.: ____________________________________________________
04) Encontre o valor de P para que a equação x2
+ Px + 15 = 0 tenha como raízes os valores 3 e 5.
Resp.: ____________________________________________________
05) Existem dois números reais que são raízes da equação x2
+ 2x – 15 = 0. O quociente entre o
maior e o menor vale:
Resp.: ____________________________________________________
06) Determine a equação do 2º grau que possui { 2 , 9 } como conjunto solução.
Resp.: ____________________________________________________
07) Se x é positivo e o inverso de x + 2 é x – 2, então x é:
Resp.: ____________________________________________________
08) Um terreno retangular de área 700m2 tem o comprimento que excede 15m a largura. A
equação que representa o problema é:
Resp.: ____________________________________________________
09) O produto da idade de Gabriel pela idade de Juan é igual a 66. Juan é 5 anos mais velho do
que Gabriel. Quantos anos tem cada um deles?
Resp.: ____________________________________________________
10) Um homem caminhou 240 km em uma certa viagem. Se caminhasse mais 4 km por dia, teria
gasto dos dias a menos nna viagem. Quantos dias gastou na viagem e quantos quilômetros
andou por dia?
Resp.: ___________________________
Respostas
Resposta:
A seguir.
Explicação passo a passo:
01) x2 + 7x + 6 = 0
Valendo-nos da forma x² - Sx + P = 0, onde S é a soma das raízes e P o produto delas podemos afirmar que as raízes são x' = -1 e x'' = -6.
A maior das raízes é -1 (-1 > -6).
3x² + bx = 0
3.(-1)² - b = 0
3.1 - b = 0
3 - b = 0
b = 3.
02) x² - 6x + 8 = 0 (a = 1; b = -6 e c = 8)
Δ = b² - 4ac = (-6)² - 4.1.8 = 36 - 32 = 4 ⇒ √Δ = 2
x = (-b ± √Δ)/2a
x = (-(-6) ± 2)/2.1
x = (6 ± 2)/2
x1 = (6 - 2)/2 = 4/2 = 2
x2 = (6 + 2)/2 = 8/2 = 4
O produto x1.x2 = 2.4 = 8
03) x² + kx - 64 = 0
Condição para que as raízes sejam iguais em módulo, porém com sinais opostos: -b/2a = 0.
-k/2 = 0
k = 0.
Conferindo:
x² - 64 = 0
x² = 64
x = ±√64
x1 = - 8
x2 = +8
04) x² + Px + 15 = 0
Condição x1 = 3 ou x2 = 5
3² + 3P + 15 = 0
9 + 15 + 3P = 0
3P = 24
P = 24/3
P = 8 Não satisfaz
5² + 5P + 15 = 0
25 + 5P + 15 = 0
40 + 5P = 0
5P = -40
P = -40/5
P = -8
Conferindo:
x² + 8x + 15 = 0 (a = 1; b = 8 e c = 15)
Δ = b² - 4ac ⇒ Δ = 8² - 4.1.15 = 64 - 60 = 4 ⇒ √Δ = 2
x = (-b ± √Δ)/2a
x = (-8 ± 2)/2
x1 = (-8 - 2)/2 = -10/2 = -5
x2 = (-8 + 2)/2 = -6/2 = -3
P = 8 NÃO SATISFAZ
x² - 8x + 15 = 0 (a = 1; b = -8 e c = 15)
Δ = b² - 4ac = (-8)² - 4ac ⇒ Δ = 64 - 4.1.15 = 64 - 60 = 4 ⇒ √Δ = 2
x = (-b ±√Δ)/2.a
x = (-(-8) ± 2)/2 = (8 ± 2)/2
x1 = (8 - 2)/2 = 6/2 = 3
x2 = (8 + 2)/2 = 10/2 = 5
O valor de P = -8.
05) x² + 2x - 15 = 0 (a = 1; b = 2 e c = -15)
Δ = b² - 4ac = 2² - 4.1.(-15) = 4 + 60 = 64 ⇒ √Δ = 8
x = (-b ± √Δ)/2a
x = (-2 ± 8)/2
x1 = (-2 - 8)/2 = -10/2 = -5
x2 = (-2 + 8)/2 = 6/2 = 3
O quociente entre o maior e o menor vale -3/5.
06) x1 = 2 e x2 = 9
x² - Sx + P = 0
x1 + x2 = 11
x1.x2 = 18
x² - 11x + 18 = 0 (a = 1; b = -11 e c = 18)
Conferindo:
Δ = b² - 4ac = (-11)² - 4.1.18 = 121 - 72 = 49 ⇒ √Δ = 7
x = (-b ± √Δ)/2.a
x = (-(-11) ± 7)/2
x = (11 ± 7)/2
x1 = (11 - 7)/2 = 4/2 = 2
x2 = (11 + 7)/2 = 18/2 = 9
A equação do 2° grau que possui conjunto solução {2,9} é x² - 11x + 18.
07) 1/(x + 2) = x - 2
(x + 2)(x - 2) = 1
x² - 4 = 1
x² = 5
x = √5 (irracional mas positivo)
08) Área = 700 m²
c = l + 15
cl = área
l(l +15) = 700
l² + 15l - 700 = 0 (a = 1; b = 15 e c = - 700)
Δ = b² - 4ac = 15² - 4.1.(-700) = 225 + 2800 = 3025 ⇒ √Δ = 55
l = (-b ± √Δ)/2a
l = (-15 ± 55)/2
l1 = (-15 - 55)/2 = -70/2 = -35 NÃO SATISFAZ PQ Ñ EXISTE LARGURA NEGATIVA
l2 = (-15 + 55)/2 = 40/2 = 20 OK
c = l + 15 ⇒ c = 20 + 15 = 35.
A equação que representa o problema é L² + 15L - 700 = 0.
09) Tomemos Gabriel por g e Juan por j.
gj = 66
j = g + 5
g(g + 5) = 66
g² + 5g - 66 = 0 (a = 1; b = 5 e c = -66)
Δ = b² - 4ac = 5² - 4.1.(-66) = 25 + 264 = 289 ⇒ √Δ = 17
g = (-b ± √Δ)/2.a
g = (-5 ± 17)/2
g1 = (-5 - 17)/2 = -22/2 = -11 NÃO EXISTE IDADE NEGATIVA.
g2 = (-5 + 17)/2 = 12/2 = 6 Ok
j = g + 5
j = 6 + 5 = 11
Gabriel tem 6 anos e Juan tem 11 anos.
10) Tempo gasto na viagem t = 240/d
t - 2 = d + 4
t = d + 6
d + 6 = 240/d
d(d + 6) = 240
d² + 6d - 240 = 0 (a = 1; b = 6 e c = -240)
Δ = b² - 4ac = 6² - 4.1.(-240) = 36 + 960 = 996 ⇒ √Δ = √2².3.83 = 2√249 ≈ 31,56
d = (-6 ± 31,56)/2
d = (-6 + 31,56)/2 = 25,56/2 ≈ 12,8 Km
Gastou 240/12,8 ≈ 18 dias e 18 horas caminhando 12,8 Km/dia aproximadamente.
Nessa questão o professor deveria ter dado quanto tempo ele gastou na viagem ou quantos quilômetros ele andou por dia para facilitar as operações. Poderíamos simular um valor fictício para tempo ou quilômetros andados por dia, mas não atenderia a demanda do problema.