Question

Determine o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 3 situado no primeiro quadrante, conforme figura abaixo, e assinale a alternativa correta:
Alternativas
Alternativa 1:
1/2.
Alternativa 2:
2/3.
Alternativa 3:
3/4.
Alternativa 4:
7/2.
Alternativa 5:
9/2.

Answer 1

⇒ (5) Aplicando nossos conhecimentos sobre Volume como Integral Tripla, concluímos que o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e o plano x + y + z = 3 é 9/2.

➜ Os planos coordenados são os planos x = 0, y = 0 e z = 0. O sólido está representado na Figura 1. O plano x + y + z = 3, ou  z = 3 - x - y, intercepta o plano z = 0 ( plano xy ) na reta y = 3 - x, pois, se igualarmos as equações dos dois planos, i.e., z = 3 - x - y e z = 0, encontramos 3 - x - y = 0, sse, y = 3 - x.

➜ No plano xy ( Figura 2 ), a área da base do sólido é limitada pelas retas x = 0, x = 3, y = 0 e y = 3 -x.

∴   O volume V do sólido é calculado pela integral tripla

${\text{ \begin{array}{l}V=\displaystyle\int\limits _{x=0}^{3}\int\limits _{y=0}^{3-x}\int\limits _{z=0}^{3-x-y} dzdydx=\int\limits _{0}^{3}\int\limits _{0}^{3-x} 3-x-y\ dydx\\\\\ \ \ =\displaystyle\int\limits _{0}^{3}\left[( 3-x) y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{3-x} dx=\int\limits _{0}^{3}( 3-x)^{2} -\frac{( 3-x)^{2}}{2} \ dx\end{array} }}$

 

  ${\text{ \begin{array}{l}\ \ \ =\displaystyle\frac{1}{2}\int\limits _{0}^{3}( 3-x)^{2} \ dx=\frac{1}{2}\int\limits _{0}^{3} 9-6x+x^{2} \ dx\\\\\ \ \ =\displaystyle\frac{1}{2}\left[ 9x-3x^{2} +\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3} =\frac{9}{2} .\end{array} }}$

∴   O volume do sólido é 9/2, o que consta na alternativa 5  ✍️

Observação - É possível generalizar o resultado acima para encontrar que volume  do sólido limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + y + z = a é a³/6.

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