Question

Considere duas esferas concêntricas de raio $r = a$ e $r = b, a < b$. A temperatura u(r) na região entre as esferas é determinada a partir do problema com os valores da fronteira

$\qquad \rm r \cfrac{d {}^{2} u}{dr {}^{2} } + 2 \cfrac{du}{dr} = 0. \space \qquad u(a) = u_{0} \qquad u(b) = u_{1}$

Onde $\rm u_0$ e $\rm u_1$ são constantes. Resolva para u(r)

Ajude-me a não trolls​

Answer 1

A função u(r) é dada por

                           $\large\begin{gathered}u(r) = \frac{1}{r}\left(\frac{u_1ab - u_0ab}{a-b}\right) + \frac{u_0a-u_1b}{a-b}\\ \\\end{gathered}$

Dado

                                                $\large\begin{gathered}r\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}r^2} + 2\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r} = 0\end{gathered}$

Podemos escrever como

                                                 $\large\begin{gathered}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}r^2} + \frac{2}{r}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r} = 0\end{gathered}$

Fazendo a mudança de variável v = du/dr temos

                                                   $\large\begin{gathered}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} + \frac{2}{r}v = 0\end{gathered}$

Agora temos uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, que neste caso, é separável.

                                                   $\large\begin{gathered}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} = -\frac{2v}{r}\\ \\\frac{\mathrm{d}v}{v} = -2\frac{dr}{r}\\ \\\end{gathered}$

Integrando dos dois lados obtemos

                                              $\large\begin{gathered}\int \frac{\mathrm{d}v}{v} = -2\int \frac{\mathrm{d}r}{r} \end{gathered}$

Essas integrais são imediatas e resultam em

                                            $\large\begin{gathered}\ln |v| = -2\ln |r| + C \end{gathered}$

Tomando a exponencial em ambos os lados temos a funcção v(r)

                                              $\large\begin{gathered}e^{\ln |v|} = e^{-2\ln |r| + C} \\ \\|v| = \frac{e^C}{|r^2|}\end{gathered}$

Podemos desconsiderar os módulos

                                                   $\large\begin{gathered}v(r) = \frac{e^C}{r^2}\end{gathered}$

Como e^C é constante vamos dizer

                                                   $\large\begin{gathered}v(r) = \frac{C_1}{r^2}\end{gathered}$

Como mudamos de variável, temos

                                $\large\begin{gathered}v(r) = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}r} \Rightarrow \int du = \int v(r) dr\end{gathered}$

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                                         $\large\begin{gathered}u(r) = \int \frac{C_1}{r^2} dr\\ \\u(r) = -\frac{C_1}{r} + C_2\\ \\\end{gathered}$

Como a constante C1 é arbitrária podemos trocar o sinal do termo, chegando ao resultado

                                             $\large\begin{gathered}u(r) = \frac{C_1}{r} + C_2\\ \\\end{gathered}$

Sabemos que

$\large\begin{gathered}\begin{cases}u(a) = \dfrac{C_1}{a} + C_2 = u_0\\ \\u(b) = \dfrac{C_1}{b} + C_2 = u_1\end{cases}\end{gathered}$

Colocando em notação matricial temos

                                      $\large\begin{gathered}\left[\begin{array}{c c}\frac{1}{a} & 1\\ \\\frac{1}{b} & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}C_1\\ \\C_2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c}u_0\\ \\u_1\end{array}\right]\end{gathered}$

Pela regra de Cramer temos que

                       $\large\begin{gathered}C_1 = \dfrac{\left|\begin{array}{c c}u_0 & 1\\ \\u_1 & 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c c}\frac{1}{a} & 1\\ \\\frac{1}{b} & 1\end{array}\right|} = \dfrac{u_0-u_1}{\dfrac{1}{a}- \dfrac{1}{b}} = \dfrac{u_1ab - u_0ab }{a-b}\end{gathered}$

E para C2

                                   $\large\begin{gathered}C_2 = \dfrac{\left|\begin{array}{c c}\frac{1}{a} & u_0\\ \\\frac{1}{b} & u_1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c c}\frac{1}{a} & 1\\ \\\frac{1}{b} & 1\end{array}\right|} = \frac{u_0a - u_1b}{a-b}\end{gathered}$

Desta forma, o resultado final é

                        $\large\begin{gathered}u(r) = \frac{1}{r}\left(\frac{u_1ab - u_0ab}{a-b}\right) + \frac{u_0a-u_1b}{a-b}\\ \\\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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