Question

um projetil e disparado do topo de uma colina de 200 m de altura,sobre um vale sua velocidede inicial e de 60 m/s ,a 60°acima da horizontal,onde o projeto cai,(ignore a resistencia do ar)

Answer 1

Após os cálculos realizados concluímos que o alcance do projeto é de $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf \large \boldsymbol{ \textstyle \sf \mathsf{A \ = \ 30 \ \cdot \ (3 \ \sqrt{3} \ + \ \sqrt{67}) \ m} }}$.

O movimento oblíquo é uma junção de movimentos na vertical e horizontal.

• executa dois movimentos simultâneos;
• executa um movimento na vertical, subindo e descendo;

Na direção horizontal eixo X:

• aceleração horizontal nula;

• movimento uniformemente ( MU );

• velocidade horizontal constante em todos os pontos da trajetória $\boldsymbol{ \textstyle \sf V_x = V_0 }$;

• alcance $\boldsymbol{ \textstyle \sf A = V_x \cdot t }$

Na direção vertical eixo Y:

• movimento uniformemente variado ( MUV );

• aceleração vertical constante em todos os pontos da trajetória $\boldsymbol{ \textstyle \sf a = g }$;

• velocidade inicial vertical nula $\boldsymbol{ \textstyle \sf V_{0y} = 0 }$;

• o módulo da velocidade vertical  diminui durante a subida e aumenta na descida;

• no ponto de altura máxima $\boldsymbol{ \textstyle \sf h_{max} }$ .

Na direção horizontal ( MU ):

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf V_x = V_{0x} = V_0 \cdot \cos{\theta} }}$

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf S_x = V_x \cdot t = V_0 \cdot \cos{\theta} \cdot t }}$

Na direção vertical ( MUV ):

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf V_y = V_{0y} + g \cdot t = V_0 \cdot \sin{\theta} + g \cdot t }}$

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf S_y = S_{0y} + V_{0y} \cdot t + \dfrac{g \cdot t^2}{2} }}$

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf S_y = S_{0y} + V_{0} \cdot \sin{\theta} \cdot t + \dfrac{g \cdot t^2}{2} }}$

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf V_y^2 = 2 \cdot g \cdot h }}$

Observações:

→ Durante todo o movimento, a aceleração é vertical, de cima para baixo, e com módulo igual ao da aceleração gravitacional g.

→ No ponto mais alto da trajetória (vértice da parábola), a componente

vertical da velocidade anula-se. A velocidade do móvel coincide com a componente horizontal da velocidade $\boldsymbol{ \textstyle \sf V_{0x} }$.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf h_0 =200 \: m \\ \sf \theta = 60^\circ \\ \sf \sin{60^\circ} = \dfrac{\sqrt{3} }{2} \\ \\ \sf \cos{60^\circ} = \dfrac{1}{2} \\ \\ \sf g = - 10\; m/s^2 \quad \downarrow \\ \sf A = \:?\: m \end{cases}$

Aplicando na função horária do espaço, temos:

$\large \displaystyle \sf \sf S_y = S_{0y} + V_{0} \cdot \sin{\theta} \cdot t + \dfrac{g \cdot t^2}{2}$

$\large \displaystyle \sf \sf 0 =200 + 60 \cdot \sin{60^\circ} \cdot t -\dfrac{10\cdot t^2}{2}$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf 0 =200 + 60 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} \cdot t - 5\cdot t^2 }$

$\large \displaystyle \sf \sf 0 =200 + 30 \; \sqrt{3} \cdot t - 5\cdot t^2$

Determinar o Δ:

$\large \displaystyle \sf \sf \displaystyle \sf \Delta = b^2 -\:4ac$

$\large \displaystyle \sf \sf \displaystyle \sf \Delta = (30\:\sqrt{3})^2 -\:4 \cdot (-5) \cdot 200$

$\large \displaystyle \sf \sf \displaystyle \sf \Delta = 900 \cdot 3 + 4\:000$

$\large \displaystyle \sf \sf \displaystyle \sf \Delta = 2\:700 + 4\:000$

$\large \displaystyle \sf \sf \displaystyle \sf \Delta = 6\;700$

Deter o tempo total, ou seja, ao tocar ao solo.

$\large \displaystyle \sf \text { \sf t = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,30\sqrt{3} \pm \sqrt{ 6\:700 } }{ 2 \cdot (-5)} }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf t = \dfrac{-\,30\sqrt{3} \pm \sqrt{ 100 \cdot 67 } }{ (- 10)} = \dfrac{-\,30\sqrt{3} \pm 10 \:\sqrt{ 67 } }{ -\:10} }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf t = \dfrac{-\:\diagdown\!\!\!\! { 10} \left(3 \:\sqrt{3} \pm 1\:\sqrt{ 67 } \right) }{ -\: \diagdown\!\!\!\! {10}} = 3 \: \sqrt{3} \pm \sqrt{67} }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf \Rightarrow\begin{cases} \sf t_1 = &\sf 3 \: \sqrt{3} + \sqrt{67} \\\\ \sf t_2 = &\sf 3\: \sqrt{3} - \sqrt{67} \quad \gets \large \text {\sf n{\~a}o serve: negativo}\end{cases} }$

$\large\boldsymbol{ \displaystyle \sf t = 3\: \sqrt{3}+ \sqrt{67} \: segundos}$

Alcance em que o projeto cai:

$\large \displaystyle \sf \sf S_x = V_x \cdot t = V_0 \cdot \cos{\theta} \cdot t$

$\large \displaystyle \sf \sf A = 60 \cdot \cos{60^\circ} \cdot (3\sqrt{3} +\sqrt{67} )$

$\large \displaystyle \sf \sf A = 60 \cdot 0,5\cdot (3\sqrt{3} +\sqrt{67} )$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf A = 30\cdot (3\: \sqrt{3} +\sqrt{67} ) \: m }} }$

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