Question

Uma massa m é solta verticalmente de uma distância h da extremidade de uma mola de massa muito pequena e que apresenta constante elástica k. Desprezando a massa da mola, obtenha qual é a máxima variação de comprimento da mesma e marque a opção que melhor representa a resposta correta. Observação: sqrt e ^ nas respostas indica raiz quadrada e expoente, respectivamente. *

A ) sqrt (mgh)
B ) (1/2 mg - sqrt ( (1/2 mg)^2 + kmgh ) ) / k
C ) (mg - sqrt ( (mg)^2 + 2kmgh ) ) / k
D) (1/2 mg - sqrt ( ( 1/2 mg)^2 + kmgh ) ) / 2k
E) sqrt (mg - sqrt ( (mg)^2 + 2kmgh ) ) / 2 k

Answer 1

Resposta:

c)

Explicação:

Inicialmente a bola tem apenas energia potencial gravitacional, dada por m.g.h. Ao final, no máximo de compressão da mola, terá apenas energia potencial elástica, dada por $\frac{kx^2}{2}$.

Nosso objetivo será encontrar x, que é a deformação da mola e assim a variação do seu comprimento.

Havendo conservação de energia, podemos igualar os módulos das duas formas de energias citadas:

$E_{PotencialGravitacional} = E_{PotencialElastica}\\\\mg (h + x) = \frac{k.x^2}{2}\\\\mgh + mgx = \frac{k.x^2}{2}\\\\2mgh + 2mgx = k.x^2\\\\kx^2 - 2mgx - 2mgh = 0$

Agora vamos resolver a equação do segundo grau em x aplicando a fórmula:

$\Delta = (-2mg)^2 - 4.k.(-2mgh)\\\\\Delta = 4m^2g^2 +8kmgh\\\\\Delta = 4mg(mg +2kh)\\\\x = \frac{-(-2mg) \pm \sqrt{4mg(mg+2kh)} }{2k} \\\\x = \frac{2mg \ \pm \ 2\sqrt{mg(mg+2kh)} }{2k} \\\\x = \frac{mg \ \pm \ \sqrt{mg(mg+2kh)} }{k} \\\\x = \frac{mg \ \pm \ \sqrt{(mg)^2 + 2kmgh} }{k}$

Nesse ponto, temos uma análise de sinal para fazer.

Se usarmos o valor "+" da raiz, encontraremos uma deformação x positiva, que caracterizaria um distendimento ("esticamento") da mola.

Contudo, no problema, o objeto está comprimindo ("apertando") a mola, então o x deve ser negativo. Se adotarmos o valor "-" da raiz, o valor de x será negativo, pois $mg < \sqrt{(mg)^2 + 2kmgh}$

Assim, adotando a raiz "-":

$x = \frac{mg \ - \ \sqrt{(mg)^2 + 2kmgh} }{k}$, que está na letra "c)".