Question

a equação ax² -4 x - 16 = 0 tem uma raiz cujo valor é 4. qual outra raiz dessa equação?​

Answer 1

✅ Após ter resolvido os cálculos, concluímos que a outra raiz da equação do segundo grau é:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf x'' = -2\:\:\:}} \end{gathered} }$

Seja a equação do segundo grau:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}ax^{2} - 4x - 16 = 0 \end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                   $\large\begin{cases}a = a\\b = -4\\c = -16 \end{cases}$

Se temos uma das raízes, ou seja:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}x' = 4 \end{gathered}$

Se queremos encontrar a outra raiz devemos utilizar as seguintes relações de Girard, que são:

              $\Large\begin{cases}x' + x'' = -\frac{b}{a} \\x'\cdot x'' = \frac{c}{a} \end{cases}$

Então temos:

              $\Large\begin{cases}4 + x'' = -\frac{(-4)}{a} \\4\cdot x'' = -\frac{16}{a} \end{cases}$

Então, temos:

                $\Large\begin{cases}4 + x'' = -\frac{(-4)}{a} \\4\cdot x'' = -\frac{16}{a} \end{cases}$

Então:

                $\Large\begin{cases}4 + x'' = \frac{4}{a} \\4\cdot x'' = -\frac{16}{a} \end{cases}$

Colocando "a" em evidência temos:

                 $\Large\begin{cases}a = \frac{4}{4 + x''}\\a = -\frac{16}{4x''} \end{cases}$

Então:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}a = a \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{4}{4 + x''} = -\frac{16}{4x''} \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}16x'' = -64 - 16x''\end{gathered}$

  $\Large\displaystyle\begin{gathered}16x'' + 16x'' = -64 \end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}32x'' = -64 \end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}x'' = -\frac{64}{32} \end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}x'' = -2 \end{gathered}$

✅ Portanto, a outra raiz x" é:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} x'' = -2\end{gathered}$

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