Respostas
Resposta:
O logaritmo é uma operação matemática diretamente relacionada com as equações exponenciais. Nele buscamos encontrar o expoente que faz com a base seja igual ao que chamamos de logaritmando.
Na prática estamos resolvendo equações exponencias, entretanto, com essa operação surgem propriedades importantes que auxiliam nas resoluções. Para resolver um logaritmo, é essencial o domínio da operação e das propriedades existentes para ele, as quais são muito parecidas com as propriedades das potências. Para que essa operação seja bem definida, existem algumas restrições para o valor da base e do logaritmando chamadas de condição de existência.
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)
Leia também: Qual a aplicação dos logaritmos?
Definição de logaritmo
Chamamos de logaritmo de a na base b, representado por logab, o valor x, tal que a elevado a x seja igual a b. Por exemplo, ao escrevermo log28 (lê-se logaritmo de 8 na base 2), estamos procurando o número a que devemos elevar o 2 para que a resposta seja igual a 8.
Log28 = 3, pois 2³ = 8.
De modo geral, a operação logaritmo é definida por:
x → logaritmo
b → base
a → logaritmando
Observação: Quando não escrevemos a base, ela é sempre igual a 10, ou seja, Log a (lê-se logaritmo de a na base decimal).
Exemplos
Calcule o valor dos logaritmos a seguir.
a) log381 = 4, pois 34 = 81.
b) log100 = 2, pois 10² = 100 (como não havia valor para a base, ela é igual a 10).
c) log21024 = 10, pois 210 = 1024.
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)
Casos particulares de logaritmo
Como consequência da definição, podemos analisar alguns casos particulares de logaritmo.
logb1 = 0, pois a0 = 1.
Como todo número elevado a 0 é igual a 1, então o logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0.
Exemplo numérico: log81 = 0, pois 80 = 1.
logbb = 1, pois b1 = b.
Como todo número elevado a 1 é ele mesmo, então logaritmo de base e logaritmando iguais são sempre iguais a 1.
Exemplo numérico: log55 = 1, pois 5¹ = 5.
Se logba = logbc, então a = c, pois bx = a e também bx = c.
Dois logaritmos de mesma base são iguais se, e somente se, o logaritmando for igual.
Exemplo numérico: Sabendo que logb8 = logba, então a = 8.
logbbn = n, pois, pela definição, bn = bn.
Esse caso é uma aplicação da definição, pois a base levada ao logaritmo é igual ao logaritmando.
Exemplo numérico: log22³ = 3, pois 2³ = 2³.
Condição de existência
Para definirmos bem o logaritmo, há algumas restrições sobre os valores da base e do logaritmando. A base de um logaritmo sempre deve ser um número positivo e diferente de 1, e o logaritmando deve ser sempre um número positivo. De forma algébrica, temos que:
logba
Em que a e b são números reais, tal que: a > 0 e b > 0 e b ≠ 1.
Veja também: Conjuntos numéricos – agrupamentos de números com características semelhantes
Como resolver um logaritmo
Existem aqueles logaritmos possíveis de resolver-se de forma direta, apenas com a definição, como fizemos no exemplo anterior. No entanto, resolver logaritmos também exige domínio de equações exponencias, além disso, quando for necessário, deve-se realizar a consulta da tabela de logaritmos decimais para saber o valor de logaritmos que não conseguimos calcular com base em uma equação exponencial.
Exemplo 1
Calcule log3243.
1º passo: aplicar a definição para transformar o logaritmo em uma equação exponencial.
Seja log3243 = x, então 3x = 243.
2º passo: igualar as bases quando possível.
3x = 35 → x = 5
Exemplo 2
Calcule o logaritmo a seguir.
Seguindo os dois passos do exemplo anterior, vamos aplicar a definição e tentar igualar as bases.
Acesse também: Equações logarítmicas – equações em que a incógnita está no logaritmando
Propriedades dos logaritmos
Existem casos em que a simples aplicação da definição não é o suficiente para resolvê-los, então, para isso, foram desenvolvidas algumas propriedades que facilitam essa resolução. O domínio dessas ferramentas é essencial para a resolução dos problemas sobre esse tema e para utilizar-se de logaritmos a fim de solucionar equações exponenciais de bases diferentes.
Considere X e Y dois números reais positivos e diferentes de 1 para todas as propriedades dos logaritmos a seguir.
1ª propriedade: logaritmo de um produto
Logb(X · Y) = LogbX + LogbY
O logaritmo de um produto pode ser separado na adição do logaritmo de mesma base de cada um dos fatores.
2ª propriedade: logaritmo do quociente
Muito parecida com a anterior, o logaritmo de um quociente pode ser separado com a subtração dos logaritmos de mesma base do numerador pelo denominador, nessa ordem.
3ª propriedade: logaritmo de uma potência
LogbXn = n · LogbX
Explicação passo a passo:
espero ter ajudado =)