Question

qual o menor número natural não nulo que se deve multiplicar 2016 de modo a ficar divisível por 81

Answer 1

Sendo $n$ o número procurado, devemos ter

$2\,016n=\mathrm{mmc}(2\,016,\;81)~~\Rightarrow~~n=\dfrac{\mathrm{mmc}(2\,016,\;81)}{2\,016}~~~~\mathbf{(i)}$

Calculando o mmc (mínimo múltiplo comum) entre $2\,016$ e $81,$ via fatoração simultânea:

$\begin{array}{rr|l} 2\,016,&81&2\\ 1\,008,&81&2\\ 504,&81&2\\ 252,&81&2\\ 126,&81&2\\ 63,&81&3\\ 21,&27&3\\ 7,&9&3\\ 7,&3&3\\ 7,&1&7\\ 1,&1&\\ \end{array}~~~~~\Rightarrow~~~~~\boxed{\begin{array}{c} \mathrm{mmc}(2\,016,\;81)=2^5 \cdot 3^4\cdot 7 \end{array}}$

Para facilitar as simplificações, vamos decompor $2\,016$ em seus fatores primos:

$\begin{array}{r|l} 2\,016&2\\ 1\,008&2\\ 504&2\\ 252&2\\ 126&2\\ 63&3\\ 21&3\\ 7&7\\ 1 \end{array}~~~~~\Rightarrow~~~~~\boxed{\begin{array}{c} 2\,016=2^5\cdot 3^2\cdot 7 \end{array}}$

Substituindo em $\mathbf{(i)},$ o número procurado é

$n=\dfrac{\diagup\!\!\!\!\! 2^5 \cdot 3^4\cdot \diagdown\!\!\!\! 7}{\diagup\!\!\!\!\! 2^5\cdot 3^2\cdot \diagdown\!\!\!\!7}\\\\\\ n=\dfrac{3^{4}}{3^{2}}\\\\\\ n=3^{4-2}\\\\ n=3^2\\\\ \boxed{\begin{array}{c}n=9 \end{array}}$