Question

O desenvolvimento de (1+√$5^{5}$ é igual a:

Answer 1

Resposta:  a) $176+81\sqrt{5}$

Resolução:

De forma a simplificar o nosso trabalho, podemos usar o Binómio de Newton para desenvolver a expressão dada.

Relembremos, então, o que é o Binómio de Newton:

O Binómio de Newton é qualquer potência na forma  $(a+b)^c$ , com  $a,b\in\mathbb{R}$  e  $c\;\in\mathbb{N}$.

Quando  $c$  assume valores pequenos, é fácil desenvolver este tipo de polinómios. Contudo, para valores maiores de  $c$ , torna-se impensável desenvolver um Binómio de Newton da forma convencional.

Para resolver este problema, surge então o Teorema do Binómio de Newton, que nos diz o seguinte:

$(a+b)^c=\displaystyle\sum^c_{k=0}\:^cC_k\:a^{c-k}\:b^k$

Com isto em mente, vamos resolver o exercício.

   $\left(1+\sqrt{5}\right)^5=$

$=\displaystyle\sum^5_{k=0}\:^5C_k\:1^{5-k}\:\left(\sqrt{5}\right)^k=$

$=\:^5C_0\:1^{5-0}\:\left(\sqrt{5}\right)^0+\:^5C_1\:1^{5-1}\:\left(\sqrt{5}\right)^1+\:^5C_2\:1^{5-2}\:\left(\sqrt{5}\right)^2+\:^5C_3\:1^{5-3}\:\left(\sqrt{5}\right)^3+\:^5C_4\:1^{5-4}\:\left(\sqrt{5}\right)^4+\:^5C_5\:1^{5-5}\:\left(\sqrt{5}\right)^5=$

$=\:^5C_0\:1^5\times1+\:^5C_1\:1^4\sqrt{5}+\:^5C_2\:1^3\times5+\:^5C_3\:1^2\times5\sqrt{5}+\:^5C_4\:1^1\times5^2+\:^5C_5\:1^0\times5^2\sqrt{5}=$

$=\:^5C_0\times1\times1+\:^5C_1\times1\times\sqrt{5}+\:^5C_2\times1\times5+\:^5C_3\times1\times5\sqrt{5}+\:^5C_4\times1\times5^2+\:^5C_5\times1\times5^2\sqrt{5}=$

$=\:^5C_0\times1+\:^5C_1\times\sqrt{5}+\:^5C_2\times5+\:^5C_3\times5\sqrt{5}+\:^5C_4\times5^2+\:^5C_5\times5^2\sqrt{5}=$

$=1\times1+5\times\sqrt{5}+10\times5+10\times5\sqrt{5}+5\times5^2+1\times5^2\sqrt{5}=$

$=1+5\sqrt{5}+50+50\sqrt{5}+5^3+5^2\sqrt{5}=$

$=1+5\sqrt{5}+50+50\sqrt{5}+125+25\sqrt{5}=$

$=1+50+125+5\sqrt{5}+50\sqrt{5}+25\sqrt{5}=$

$=176+81\sqrt{5}$

Podes ver mais exercícios sobre o Binómio de Newton em:

• https://brainly.com.br/tarefa/25597198
• https://brainly.com.br/tarefa/3801691