Question

Integração por Substituição.

∫√1+㏑x/x dx

Answer 1

• O "valor" da integral é  $\mathsf{\dfrac{2}{3}\cdot (1+\ell n |x|)^{\frac{3}{2}}+C}$ , onde C é uma constante.

O que é uma integral?

Integral é uma ferramenta matemática que permite fazer somas de infinitas parcelas muito pequenas. É por essa razão que a integral faz parte de uma área do conhecimento chamado cálculo infinitesimal.

Quais os tipos de integrais?

Existem basicamente dois tipos:

• definidas: são aquelas que possuem limites de integração e o resultado geralmente é um número. Geometricamente representam a área abaixo do gráfico de uma função;
• indefinidas: são aquelas que não possuem limites de integração. Nesse caso, o resultado é uma função que ao derivarmos retornamos à função original.

Solução:

Queremos encontrar a função da integral indefinida:

$\displaystyle \int \mathsf{\dfrac{\sqrt{1+\ell n \,x}}{x}} \,\, \mathsf{dx}$

usando a regra da substituição.

A ideia aqui é chamar de u(x) a função do integrando que, ao ser derivada retorne uma função mais simples, que esteja no próprio integrando.

Observando a integral vamos escolher a substituição:

$\mathsf{u(x)=1+\ell n \,x}$

Calcule a derivada da expressão com respeito a x:

$\mathsf{u'(x)=\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x}}\\\\\\\therefore \mathsf{du=\dfrac{dx}{x}}$

Observe que obtemos assim uma expressão que aparece na integral original. Logo, as substituições que devemos fazer são:

$\begin{cases}\mathsf{u=1+\ell n \,x}&&\\\mathsf{du=\dfrac{dx}{x}}\end{cases}$

E a integral se transforma em:

$\displaystyle \int \mathsf{\dfrac{\sqrt{1+\ell n \,x}}{x}} \,\, \mathsf{dx}=\int\mathsf{\sqrt{u}\,\,du}$

Agora use as propriedades de potências para simplificar a integral. Temos:

$\displaystyle \int\mathsf{\sqrt{u}\,\,du}=\int \mathsf{u^{\frac{1}{2}}\,du} =\\\\\\=\mathsf{\dfrac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C}=\\\\\\=\mathsf{\dfrac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}+C}=\\\\\\=\mathsf{\dfrac{2}{3}\cdot (1+\ell n\,x)^{\frac{3}{2}}+C} \quad \blacksquare$

Conclusão: o "valor" da integral é  $\boxed{\mathsf{\dfrac{2}{3}\cdot (1+\ell n\,x)^{\frac{3}{2}}+C}}$ .

Continue aprendendo com o link abaixo:

Integral indefinida

https://brainly.com.br/tarefa/50985613

Bons estudos!

Equipe Brainly