Question

assinale a alternativa que corresponde ao centro e o raio da circunferência x²+y²+6x-4y-12=0​

Answer 1

Resposta:

Centro: (-3, 2)

Raio: 5

Explicação passo a passo:

A equação reduzida da circunferência tem a forma:

$(X-X_c)^2 + (Y-Y_c)^2 = R^2$

Como ele deu a equação de forma desenvolvida, vamos retomar à forma anterior. Pra isso devemos completar os quadrados perfeitos para reverter o desenvolvimento.

Sabemos que:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

Vamos analisar o 2ab na equação desenvolvida dada por ele.

Nela, vemos que o coeficiente de x² é 1, que foi multiplicado por 2 e por um número desconhecido (k) a fim de produzir 6x.

Então 2.1.k = 6 => k = 3

Com isso escrevemos (x + 3)².

Fazemos o mesmo para y² e vemos que seu coeficiente é 1, que será multiplicado por 2 e um número desconhecido (t) a fim de produzir -4y:

Então 2.1.t = -4 => t = -2

Com isso escrevemos (y -2)².

Porém, observe que esses binômios geram um termo independente 3² = 9 e (-2)² = 4.

Para não alterar o resultado da equação devemos adicioná-los do outro lado. Daí fica:

$x^2 + 6x + y^2-4y = 12\\\\(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 12 + 9 + 4\\\\(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$

Se quiser, pode desenvolver os binômicos e verá que chega exatamente na mesma equação que ele deu inicialmente.

Agora observemos de novo a fórmula reduzida e vamos comparar com a equação que achamos:

$(X-X_c)^2 + (Y-Y_c)^2 = R^2\\\\(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25\\\\X_o = - 3\\Y_o = 2\\R^2 = 25 \Rightarrow R = 5$