Question

A) log3 2+log 3 (x-1)=2 ?

B) Para que valores de x existe o log 3 (2x+7)?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Daniel, que é simples.
Temos as seguintes expressões logarítmicas:

a) log₃ (2) + log₃ (x-1) = 2 .

Antes de qualquer coisa, vamos para a condição de existência do logaritmando (x-1). Como só existem logaritmos de números positivos, então teremos que impor que o logaritmando (x-1) terá que ser, necessariamente, maior do que zero. Logo:

x - 1 > 0
x > 1 ------ Esta é a condição de existência da expressão logarítmica do item "a" acima.

Bem, como já temos qual é a condição de existência, então vamos trabalhar com a expressão dada, que é:

log₃ (2) + log₃ (x-1) = 2 ---- como as bases são iguais, então vamos transformar a soma em produto, ficando assim:

log₃ [2*(x-1)] = 2 ---- agora vamos aplicar a definição de logaritmo. Ou seja, o que temos aqui é a mesma coisa que:

3² = 2*(x-1)
9 = 2*x - 2*1
9 = 2x - 2 ----- passando "-2" para o 1º membro, ficaremos com:
9 + 2 = 2x
11 = 2x ----- vamos apenas inverter, ficando:
2x = 11
x = 11/2 <--- Veja que a resposta é válida, pois "11/2" é maior do que "1", o que satisfaz à condição de existência vista antes.

Dessa forma, teremos que:

x = 11/2 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {11/2} .

b) Para que valores de "x" existe a seguinte expressão logarítmica (que vamos chamar de um certo "y" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa):

y = log₃ (2x+7)

Como você já viu na questão do item "a", só existem logaritmos de números positivos. Logo, deveremos impor que o logaritmando (2x+7) seja maior do que zero. Então:

2x + 7 > 0
2x > -7
x > -7/2 ----- Esta é a resposta para a questão do item "b".

Em outras palavras, só existirá a expressão y = log₃ (2x+7) se "x" for maior do que "-7/2".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.