Question

Obtenha o valor de x na equação log2(6x − 24) = log2 2x

Answer 1

log2(6x − 24) = log2 2x

(6x-24)=2x

6x-24=2x

6x-2x=24

4x=24

x=24/4

x= 6

Answer 2

Com os cálculos realizado chegamos a conclusão que o valor  de x = 6.

O logaritmo de um número real e positivo b, na base a, positiva e diferente de um, é o número c ao qual se deve elevar a para se obter b.

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log _a b = c \Leftrightarrow a^c = b } \large \text {\sf com \sf b > 0 , \sf e \sf a > 0 \sf e \sf b \neq 1 }$

Condições de existências de logaritmos:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a\neq 1 }$

A que expoente deve elevar 1 para obter 2 ?

$\Large \displaystyle \mathsf{ \nexists ~x \mid 1^x = 2 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a > 0 }$

A que expoente deve elevar 0 para obter 2 ?

$\Large \displaystyle \mathsf{ \nexists ~x \mid 0^x = 2 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf b > 0 }$

A que número deve-se elevar a para que se obtenha zero?

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 2^x = 0 } \Large \text {\sf, logo, \sf \log_a 0 \; \sf n\~ao existe } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \log_2 (6x -24) = \log_2 2x }$

Restrição:

$\Large \displaystyle \mathsf{ 2x > 0 \Rightarrow x > 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 6x - 24 > 0 \Rightarrow x > 4 }$

( Vide a figura em anexo )

$\Large\boldsymbol{\displaystyle \sf S=\{x\in \mathbb{R}\mid x > 4 \} }$

Resolvendo logaritmo; temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \diagdown\!\!\!\! {\log_2}\: (6x -24) = \diagdown\!\!\!\! {\log_2} \:2x } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 6x- 24 =2x }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 6x -2x = 24 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 4x = 24 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{24}{4} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 6 }$

Como a condição de restrição é $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf x> 4 }$, então $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf 6 \in S }$.

Logo, $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf S = \{6\}. }$

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