Question

UFRN Calculo 1, limites bilatérias


Mostre os cálculos é as propriedade utilizadas para resolver o seguinte limite

$\Large\text{ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^{\frac{3}{2} }-1 }{\sqrt{x} -1} }$

Answer 1

O valor do limite procurado é 3.

_____

Desejamos calcular o limite

$\Large\begin{gathered}\lim_{x\to1}\frac{x^\frac{3}{2}-1}{\sqrt{x}-1}.\end{gathered}$

Para tanto, vamos utilizar o seguinte produto notável:

$\Large\boxed{a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right).}$

Veja:

$\Large\begin{aligned}&\lim_{x\to1}\frac{x^\frac{3}{2}-1}{\sqrt{x}-1}=\\\\&=\lim_{x\to1}\frac{\left(x^\frac{1}{2}\right)^3-1^3}{x^{\frac{1}{2}}-1}\\\\&=\lim_{x\to 1}\frac{\cancel{\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)}\left(x+x^{\frac{1}{2}}+1\right)}{\cancel{x^{\frac{1}{2}}-1}}\\\\&=\lim_{x\to 1}\left(x+x^{\frac{1}{2}}+1\right)\\\\&=1+1^{\frac{1}{2}}+1\\\\&=1+1+1\\\\&=3.\end{aligned}$

Portanto,

$\Large\boxed{\boxed{\lim_{x\to1}\frac{x^\frac{3}{2}-1}{\sqrt{x}-1}=3.}}$

Espero ter ajudado!