Question

Determine a solução da equação abaixo:
t dy/dt + 2y = 3

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo: A equação diferencial a seguir é separável como veremos

$t\frac{dy}{dt}+2y= 3$

Podemos escrever da seguinte maneira:

$t\frac{dy}{dt}= 3-2y \rightarrow \frac{dy}{3-2y}= \frac{dt}{t}$

A partir daí basta integrar ambos os lados. Vamos primeiramente montar a partir das integrais:

$\int \frac{dy}{3-2y}= \int \frac{dt}{t}$

Com a mudança de variável $u= 3-2y$ , temos $\frac{du}{dy}= -2$ e podemos integrar $\displaystyle\int -2\frac{du}{u}= -2\ln|3-2u|+C$que será usado na resolução.

$-\ln|3-2y|= \ln|t|+C\rightarrow e^{-\ln|3-2y|}= K|t|\rightarrow \frac{1}{3-2y}= Kt.$

Podemos isolar e obter $3-2y= \frac{1}{Kt}\rightarrow 2y= 3-\frac{1}{Kt}\rightarrow y= \frac{3}{2}-\frac{1}{2Kt}$