Question

Questão sobre Logaritmo:
$M= \frac{\log_\frac{1}{27} \sqrt[3]{243}-3. \log_{0,01}10000}{ \log_{\sqrt{3}}27}$

Answer 1

Resposta:

$\frac{49}{54}$

Explicação passo a passo:

$\frac{log_{\frac{1}{27}}\sqrt[3]{243}-3.log_{0,01}10000}{log_{\sqrt{3}}27}\\\\\frac{log_{\frac{1}{27}}\sqrt[3]{243}-3.log_{0,01}10000}{log_{3^{\frac{1}{2}}}27}\\\\\frac{log_{\frac{1}{27}}\sqrt[3]{243}-3.log_{0,01}10000}{2.log_{3}27}\\\\\frac{log_{\frac{1}{27}}\sqrt[3]{243}-3.log_{0,01}10000}{2.3}\\\\\frac{log_{\frac{1}{27}}\sqrt[3]{243}-3.log_{0,01}10000}{6}\\\\\frac{log_{\frac{1}{27}}\sqrt[3]{243}-3.log_{10^{-2}}10^4}{6}$

$\frac{log_{\frac{1}{27}}\sqrt[3]{243}-(\frac{-3.4}{-2})log_{10}10}{6}\\\\\frac{log_{\frac{1}{27}}\sqrt[3]{243}+6.log_{10}10}{6}\\\\\frac{log_{\frac{1}{27}}\sqrt[3]{243}+6.1}{6}$

$\frac{\frac{1}{-3}.log_3\sqrt[3]{3^5}+6}{6} \\ \\\frac{\frac{1}{-3}.log_33^{\frac{5}{3}}+6}{6}\\\\\frac{\frac{1}{-3}.\frac{5}{3}.log_33+6}{6}\\\\\frac{-\frac{5}{9}.1+6}{6}\\\\\frac{-\frac{5}{9}+\frac{54}{9} }{6}\\\\\frac{\frac{49}{9}}{6}\\\\\frac{49}{54}$

Answer 2

Com base nos cálculos realizados, o valor da expressão logaritmo é de:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ M = \dfrac{49}{54} } }$

A função logarítmica é a função do tipo $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) = \log_a x }$  , em que a é a base do logaritmo da função, a é positivo e a ≠ 1. Seu gráfico é o oposto da função exponencial.

$\large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ \log_a b = x \Rightarrow b = a^x } }$

Com a > 0, b > 0 e a ≠ 1.

$\Large \displaystyle \sf \Large \displaystyle \mathsf{\log_a b = x : } \begin{cases} \sf a \to\Large \text {\sf base do logaritmo } \\ \sf b \to\Large \text {\sf logaritmando } \\ \sf x \to\Large \text {\sf logaritmo} \end{cases}$

Logaritmo de uma potência:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ \log_a b^m = m \cdot \log_a b } }$

Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

Mudança de base:

$\large \boxed{\displaystyle \text { \mathsf{ \log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ M = \dfrac{ \log_{\frac{1}{\sqrt{27}}} \: \sqrt[3]{243} - 3 \cdot \log_{0,01} 10\:000 }{\log_{\sqrt{3}} \: 27 } } }$

Aplicando a mudança de base para logaritmo na base 10 e logaritmo de  potência, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \log_{ \frac{1}{27} } \: \sqrt[\sf 3]{\sf 243} = \dfrac{\log \sqrt[\sf 3]{\sf 243} }{ \log \dfrac{1}{27} } = \dfrac{ \log(243) ^{ 1/3}}{ \log \left( \frac{1}{3} \right)^3} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \log_{ \frac{1}{27} } \: \sqrt[\sf 3]{\sf 243} = \dfrac{ 1/3 \cdot\log 3^5}{ \log \left( 3 \right)^{-3}} = \dfrac{ 5/3 \cdot \diagdown\!\!\!\! { \log 3} }{ -\;3 \cdot \diagdown\!\!\!\! { \log 3}} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \log_{ \frac{1}{27} } \: \sqrt[\sf 3]{\sf 243} = \dfrac{\dfrac{5}{3} }{\dfrac{-3}{1} } = -\: \dfrac{5}{9} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\log_{0,01 } 10\:000 = \dfrac{\log 10\; 000}{ \log 0,01} = \dfrac{\log 10^4}{ \log 10^{-2}} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\log_{0,01 } 10\:000 = \dfrac{ 4 \cdot \diagup\!\!\!{ \log 10}}{ -2 \cdot \diagup\!\!\!{ \log 10}} = \dfrac{4}{-2} = -\;2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \log_{\sqrt{3}} 27 = \dfrac{ \log 27}{\log{\sqrt{3} }} = \dfrac{ \log 3^3}{\log{3^{\frac{1}{2} } }} = \dfrac{ 3 \cdot \diagup\!\!\!{ \log 3}}{ 1/2 \cdot \diagup\!\!\!{ \log{3} }} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \log_{\sqrt{3}} 27 = \dfrac{3}{\dfrac{1}{2} } = \dfrac{6}{1} = 6 } }$

Aplicando na expressão, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ M = \dfrac{ \log_{\frac{1}{\sqrt{27}}} \: \sqrt[3]{243} - 3 \cdot \log_{0,01} 10\:000 }{\log_{\sqrt{3}} \: 27 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ M = \dfrac{ -\dfrac{5}{9} - 3\cdot (-2)}{6} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ M = \dfrac{ -\dfrac{5}{9} + \dfrac{54}{9} }{6} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ M = \dfrac{ \dfrac{49}{9} }{\dfrac{6}{1} } } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf M = \dfrac{49}{54} }$

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