Question

O polinômio P(x) = x³ - 2x² - x + 2 é divisível por H(x) = x² - 3x + 2. Então pode-se afirmar que a soma da equação x³ - 2x² - x + 2 = 0, é

a) -1
b) 1
c) 2
d) 3

Answer 1

Resposta: c) 2

Explicação passo a passo:

Existem vários métodos para resolver essa questão.

1º) Usando a relação de Girard para a soma das raízes,

x³ - 2x² - x + 2 = 0

"A soma das raízes é igual ao coeficiente de x²(-2) com sinal trocado(2) dividido pelo coeficiente de x³[1; o "1" está "camuflado"]

Soma das raízes = x' + x" + x'" = - (-2)/1 = 2/1 = 2

2º) Fatorando por agrumamento.

x³ - 2x² - x + 2 = 0   [Faça um arranjo nos termos]

x³ - x - 2x² + 2 = 0 [coloque x em evidência nos 2 primeiros termos e -2 nos nos 2 últimos termos]

x(x² - 1) - 2(x² - 1) = 0 [Fatore por agrupamento pois (x² - 1) é comum]

(x² - 1)(x - 2) = 0 [Use o produto notável pois (x² - 1) = (x² - 1²) = (x+1)(x-1)]

(x + 1)(x - 1)(x - 2) = 0 [Lembre que as raízes estão escritas na forma fatorada: (x - x')(x - x")(x - x'") = o]

x'  = -1; x"= 1; x'" = 2 => Soma = -1 + 1 + 2 = 2

3º) Usando o método da chave.

Se PX) é divisível por H(x) então as raízes de H(x) também são raízes de P(x).

H(x) = x² - 3x + 2 [Equação do 2º grau. Soma das raízes = - b/a = -)-3)/1 = 3/1 = 3

Essa é a soma das duas raízes(x' + x" = 3). A 3ª raiz é obtida pelo método da chave.

 x³ - 2x² - x + 2 Lx² - 3x + 2

-x³ +3x² -2x                         x + 1

 0   +x²  -3x

       -x²  +3x -2

        0      0   0

Se o cociente é x + 1 e o resto é zero então a 3ª raiz é (x+1) = 0  => x'" = - 1

Soma das três raízes = 3(soma das duas raízes obtidas pela equação do 2ºgrau) - 1(obtida pela divisão, método da chave) = 2