Três números inteiros positivos A, B e C, formam nessa ordem, uma progressão geométrica de produto 8, sendo que o dobro de A, o valor de C e o triplo de B constituem, nessa ordem, uma progressão aritmética.
Nessas condições, o valor de A+B+C é:

Anexos:

Respostas

respondido por: augustolupan

Resposta:

e) 7

Explicação passo a passo:

Vamos escrever A, B e C em termos de uma PG de razão "q".

$A = a\\B = aq\\C = aq^2\\\\PG: \ (a;aq;aq^2)\\\\a.aq.aq^2 = 8\\\\a^3.q^3 = 8\\\\(tirando \ a \ raiz \ cubica \ de \ ambos \ os \ membros)\\\\ \sqrt[3]{a^3.q^3} = \sqrt[3]{8} \\\\a.q = 2$

Agora vamos escrever a PA com os mesmos termos que usamos antes.

Além disso, a diferença de um termo da PA e seu antecessor é sempre constante, pois é a razão (r). Logo:

$PA: (2A,C,3B) = (2a,aq^2,3aq)\\\\3B - C = C - 2A = (razao \ da \ PA)\\\\3aq - aq^2 = aq^2-2a\\\\3aq = 2aq^2-2a\\\\3q = 2q^2-2\\\\2q^2-3q - 2 = 0\\\\q = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4.2.(-2)}}{2.2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}\\\\q = \frac{3 \pm 5}{4}\\\\q = 2$

Como o enunciado disse que são números inteiros positivos, descartamos a solução com "q" negativo. Agora com o "q" achamos o "a" e os valores todos:

$a.q = 2\\a.2 = 2\\a = 1\\\\PG: (A,B,C) = (a, aq, aq^2) = (1, 2, 4)$