Question

ME AJUDEM NESSA QUESTÃO!

Ache o comprimento de arco da curva 9y² = 4x³ da origem ao ponto (3,2√3). ​

Answer 1

Resposta:

$\frac{14}{3}\,u.c.$

Explicação passo a passo:

$9y^{2}=4x^{3}\implies y^{2}=\frac{4}{9}x^{3}\implies y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}\cdot\frac{d(x^{\frac{3}{2}})}{dx}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$

Seja L o comprimento dessa curva entre os pontos (0, 0) e (3, 2√3). Temos:

$L=\int_{0}^{3}\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^{2}}\,dx\\\\L=\int_{0}^{3}\sqrt{1+(\sqrt{x})^{2}}\,dx\\\\L=\int_{0}^{3}\sqrt{1+x}\,dx$

Seja u = 1 + x, logo du = dx.

Para x = 0, temos u = 1; para x = 3, temos u = 4.

$L=\int_{1}^{4}\sqrt{u}\,du\\\\L=\left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{4}\\\\L=\frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}-1^{\frac{3}{2}})\\\\L=\frac{2}{3}(8-1)\\\\L=\frac{14}{3}$