Question

calcule o numero de termos da pg (243,81,...,1/729)

Answer 1

$P.G.: (243,81,..., \frac{1}{729} )$

Tratando-se de progressões geométricas é valida a seguinte expressão:
$An= a_1 \cdot q^{n-1}$

Onde: An= enésimo termo; a1= primeiro termo; q= razão; n= número de termos.

Para esse caso, teremos os seguintes dados:
$An=~ \frac{1}{729}; ~~~ a_1=~ 243; ~~~ q=~ \frac{1}{3}; ~( \frac{a2}{a1}) ~~~ n=~ ?.$

Substituindo na equação inicial, teremos:
$An= a1 \cdot q^{n-1} \\ \\ \frac{1}{729} = 243 \cdot \frac{1}{3}^{n-1}$

Primeiro, escrevendo esses números em base 3:
$\frac{1}{729} = 243 \cdot \frac{1}{3}^{n-1} \\ \\ \frac{1}{3^6}= 3^5 \cdot \frac{1}{3} ^{n-1} \\ \\ 3^{-6}= 3^5 \cdot (3^{-1})^{n-1}$

Fazendo essa multiplicação das potências:
$3^{-6}= 3^5 \cdot (3^{-1})^{n-1} \\ \\ 3^{-6}= 3^5 \cdot 3^{-n+1}$

Isolando a potência que está com a incógnita e reduzindo a expressão:
$3^{-6}= 3^5 \cdot 3^{-n+1} \\ \\ \frac{3^{-6}}{3^{5}} = 3^{-n+1} \\ \\ 3^{-6} \cdot 3^{-5}= 3^{-n+1} \\ \\ 3^{-11}= 3^{-n+1}$

Se as bases são iguais isto significa que os seus expoentes também serão idênticos. Portanto:
$-11= -n+1$

Encontrando n:
$-11= -n+1 \\ \\ n= 11+1 \\ \\ \boxed{n= 12}$

Portanto, esta progressão geométrica possui 12 termos.