Question

num certo esporte coletivo cada time entra em quadra com 7 jogadores considerando-se que um time para disputar um campeonato necessita de pelo menos 15 jogadores. Qual o número de equipes que o técnico poderá formar com os jogadores sendo que eles atuam em qualquer posição ? reposta logo prfv​​

Answer 1

Vamos là.

C(n,k) = n!/((n - k)!k!)

C(15,7) = 15!/(8!7!) = 6435 equipes

Answer 2

Resposta:

6 435 equipes

Explicação passo a passo:

Arranjo simples e combinação simples

No estudo da análise combinatória, um dos pontos mais importantes é a

diferença entre problemas :

→ resolvidos com arranjo simples

→ resolvidos com combinação simples.

Servem par se calcular o total de agrupamentos possíveis em uma parte

dos elementos de conjunto conhecido.

Estes conceitos são tão próximos que facilmente são confundidos.

Para os diferenciar faz-se uma só pergunta:

" a ordem em que se organizam os agrupamentos é importante ou não? "

Ordem é importante = problema resolvido por meio de um arranjo.

Ordem NÃO importante  =  problema resolvido por meio de uma

combinação.

A combinação simples tem a seguinte fórmula :

$C_{(n;k)} =\dfrac{n!}{k!*(n-k)!}$

→  " n "  → é o número de elementos disponíveis para fazer o tipo de agrupamentos que se pretende.

→ " k "  → número de elementos de cada agrupamento

Início de cálculos

n = 15

k = 7

aqui NÃO importa a ordem pois diz: " ... eles atuam em qualquer posição. "

$C_{(15;7)} =\dfrac{15!}{7!*(15-7)!}$

$C_{(15;7)} =\dfrac{15!}{7!*8!}$

O cálculo " forçado " será calcular os valores dos fatoriais e efetuar a

divisão.

Mas como pode ver , facilmente dá valores elevados.

$C_{(15;7)} =\dfrac{1307674368000}{5040*40320}$

$C_{(15;7)} =\dfrac{1307674368000}{203212800}=6435$

O processo mais prático é o que indico abaixo, em que olha-se para o

numerador 15 ! e vamos desenvolve-lo até chegar ao maior fatorial do

denominador que é o 8 !

A partir daí vai simplificando a fração nas etapas que explico abaixo.  

$C_{(15;7)} =\dfrac{15*14*13*12*11*10*9*8!}{7!*8!}$

Os 8!  no numerador e no denominador cancelam-se na divisão.

$C_{(15;7)} =\dfrac{15*14*13*12*11*10*9}{7!}$

$C_{(15;7)} =\dfrac{15*14*13*12*11*10*9}{7*6*5*4*3*2*1}$

O fator " 14 " no numerador, cancela-se com " 7 * 2 " no denominador.

E o 1 a multiplicar não altera valor nenhum.

$C_{(15;7)} =\dfrac{15*13*12*11*10*9}{6*5*4*3}$

O fator " 15 " no numerador, cancela-se com " 5 * 3 " no denominador.

$C_{(15;7)} =\dfrac{13*12*11*10*9}{6*4}$

No denominador 6 * 4 pode ser escrito em 6 * 2 * 2 = 12 * 2

$C_{(15;7)} =\dfrac{13*12*11*10*9}{6*2*2}$

O fator " 12 " no numerador, cancela-se com " 12 " no denominador.

$C_{(15;7)} =\dfrac{13*12*11*10*9}{12*2}$

$C_{(15;7)} =\dfrac{13*11*10*9}{2}$

Simplificando a dividir numerador e denominador por 2.

$C_{(15;7)} ={13*11*5*9}$

$C_{(15;7)} =6435$

Fim dos cálculos.

Observação → Fatorial de um número

É o produto desse número por todos os seus antecessores até chegar ao 1,

incluído.

Exemplos :

15 ! = 15 * 14 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

8 ! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

7 ! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Bons estudos.

-------------------

( * ) multiplicação     ( ! ) símbolo de fatorial de um número

$C_{(15;7)}$   Combinação de 15 elementos em grupos de 7 elementos

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para

que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele , em casos

idênticos.

O que eu sei, eu ensino.