17) A função f: R → R, definida por f(x) = ax2 - √2, com a >
0, é tal que f[f(√2)] = -√2. O valor de a é
A) 2-√2/2 B) 1/2 C) 2 - √2 D) √2/2 E) 2+ √2/2
Respostas
O valor de a é √2/2. (Alternativa D).
Essa questão é um pouco complexa pois envolve o conceito de função composta. Vamos entende-la ?
- Uma função composta nada mais é do que a junção de outras duas funções através de uma substituição da variável independente pela lei geral de uma delas.
No caso a função composta que estamos trabalhando é a f(f(√2)). Para trabalhar com esse tipo de função nós temos que resolve-la de dentro para fora.
Resolvendo f(√2) :
- Basta substituir o x por √2 na função f(x)
f(√2) = a.(√2)² - √2 → a.2 - √2 ∴
Observe que agora nós ficamos com o seguinte :
f(f(√2)) = f(2a - √2)
Ou seja, basicamente nós temos que aplicar o conceito de função composta novamente.
f(2a - √2) = a.(2a - √2)² - √2
Note que nós caímos em um produto notável que é o quadrado da diferença. Antes de prosseguirmos com a questão a gente precisa resolve-lo.
(2a - √2)² → (2a)² - 2.2a.√2 + (√2)² → 4a² - 4a√2 + 2
f(2a - √2) = a.(4a² - 4a√2 + 2) - √2
f(2a - √2) = 4a³ - 4a²√2 + 2a - √2
Agora que nós temos a expressão destrinchada em mãos nós vamos voltar a igualdade inicial.
f(f(√2) = -√2
4a³ - 4a²√2 + 2a - √2 = -√2
4a³ - 4a²√2 + 2a = 0
Como nós caímos em uma equação de terceiro grau e existem termos semelhantes eu irei colocar esse fator comum em evidencia.
2a(2a² - 2a√2 + 1) = 0
Note que agora nós temos uma multiplicação cujo resultado é zero. Nesse caso um dos fatores deve ser igual a zero. Portanto :
2a = 0 ou 2a² - 2a√2 + 1 = 0
Para finalizar a questão a gente tem que resolver essa equação quadrática.
Δ = b² - 4ac → Δ = (2√2)² - 4.2.1 → Δ = 4.2 - 4.2.1
Δ = 0 (Quando o delta é igual a zero isso quer dizer que existe apenas uma única raiz real que satisfaz essa equação).
→ → ∴