Question

17) A função f: R → R, definida por f(x) = ax2 - √2, com a >
0, é tal que f[f(√2)] = -√2. O valor de a é
A) 2-√2/2 B) 1/2 C) 2 - √2 D) √2/2 E) 2+ √2/2

Answer 1

O valor de a é √2/2. (Alternativa D).

Essa questão é um pouco complexa pois envolve o conceito de função composta. Vamos entende-la ?

• Uma função composta nada mais é do que a junção de outras duas funções através de uma substituição da variável independente pela lei geral de uma delas.

No caso a função composta que estamos trabalhando é a f(f(√2)). Para trabalhar com esse tipo de função nós temos que resolve-la de dentro para fora.

Resolvendo f(√2) :

• Basta substituir o x por √2 na função f(x)

f(√2) = a.(√2)² - √2 → a.2 - √2 ∴ $f(\sqrt{2} ) = 2a - \sqrt{2}$

Observe que agora nós ficamos com o seguinte :

f(f(√2)) = f(2a - √2)

Ou seja, basicamente nós temos que aplicar o conceito de função composta novamente.

f(2a - √2) = a.(2a - √2)² - √2

Note que nós caímos em um produto notável que é o quadrado da diferença. Antes de prosseguirmos com a questão a gente precisa resolve-lo.

(2a - √2)² → (2a)² - 2.2a.√2 + (√2)² → 4a² - 4a√2 + 2

f(2a - √2) = a.(4a² - 4a√2 + 2) - √2

f(2a - √2) = 4a³ - 4a²√2 + 2a - √2

Agora que nós temos a expressão destrinchada em mãos nós vamos voltar a igualdade inicial.

                   f(f(√2) = -√2

          4a³ - 4a²√2 + 2a - √2 = -√2

                4a³ - 4a²√2 + 2a = 0

Como nós caímos em uma equação de terceiro grau e existem termos semelhantes eu irei colocar esse fator comum em evidencia.

                 2a(2a² - 2a√2 + 1) = 0

Note que agora nós temos uma multiplicação cujo resultado é zero. Nesse caso um dos fatores deve ser igual a zero. Portanto :

           2a = 0            ou             2a² - 2a√2 + 1 = 0

Para finalizar a questão a gente tem que resolver essa equação quadrática.

Δ = b² - 4ac → Δ = (2√2)² - 4.2.1 → Δ = 4.2 - 4.2.1

Δ = 0 (Quando o delta é igual a zero isso quer dizer que existe apenas uma única raiz real que satisfaz essa equação).

$a' = a'' = \frac {-b + \sqrt{delta}}{2a}$ → $\frac {-(-2\sqrt{2}) + 0}{2.2}$ → $\frac {2\sqrt{2} }{4}$ ∴ $\boxed {a = \frac {\sqrt{2} }{2}}$