Question

(abra a imagem)
Calcule o limite de x-1 ​

Answer 1

Podemos fazer de duas formas :

1º Regra de L'hospital :

$\displaystyle \sf \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt[3]{\sf x+2}-1}{x+1} \to \frac{\sqrt[3]{-1+2}-1}{-1+1}=\frac{0}{0} \ (INDETERMINA{\C C}{\~A}O )\\\\ \text{Aplicando a regra de L'hospital :} \\\\\\ \lim_{x\to -1}\frac{(\sqrt[3]{\sf x+2} -1)'}{(x+1)'} \\\\\\ \lim_{x\to -1}\frac{\displaystyle \frac{1}{3\sqrt[3]{(\sf x+2)^2}} }{\displaystyle 1} \\\\\\ \lim_{x\to -1}\frac{1}{3\sqrt[3]{(\sf x+2)^2}} \to \frac{1}{3\sqrt[3]{(-1+2)^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{1}} =\frac{1}{3}$

Portanto :

$\boxed{\sf \displaystyle \sf \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt[3]{\sf x+2}-1}{x+1}=\frac{1}{3} }\checkmark$

2ª forma : Racionalizando

$\displaystyle \sf \lim_{x\to -1 }\frac{\sqrt[3]{\sf x+2}-1}{x+1}$

A ideia é fazer sumir a raiz cúbica do numerador, pra isso vamos usar o seguinte produto notável :

$\sf a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \\\\ a = \sqrt[3]{\sf x+2} \\\\ b = 1$

Racionalizando o numerador :

$\displaystyle \sf \lim_{x\to -1 }\frac{\sqrt[3]{\sf x+2}-1}{x+1} \\\\\\\ \lim_{x\to -1}\frac{(\sqrt[3]{\sf x+2}-1)\cdot (\sqrt[3]{(\sf x+2)^2}+\sqrt[3]{\sf x+2}.1+1)}{(x+1)\cdot (\sqrt[3]{(\sf x+2)^2}+\sqrt[3]{\sf x+2}.1+1)} \\\\\\ \lim_{x\to -1}\frac{\left(\sqrt[3]{\sf x+2}\right)^3-1^3}{(x+1)\cdot (\sqrt[3]{(\sf x+2)^2}+\sqrt[3]{\sf x+2}.1+1)} \\\\\\ \lim_{x\to -1}\frac{x+2-1}{(x+1)\cdot (\sqrt[3]{(\sf x+2)^2}+\sqrt[3]{\sf x+2}.1+1)}$

$\displaystyle \sf \lim_{x\to -1}\frac{x+1}{(x+1)\cdot (\sqrt[3]{(\sf x+2)^2}+\sqrt[3]{\sf x+2}.1+1)} \\\\\\ \sf \lim_{x\to -1}\frac{1}{(\sqrt[3]{(\sf x+2)^2}+\sqrt[3]{\sf x+2}.1+1)}\\\\\\ \frac{1}{\sqrt[3]{(-1+2)^2}+\sqrt[3]{-1+2}+1} \to \frac{1}{1+1+1}=\frac{1}{3} \\\\\\ \boxed{\sf \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt[3]{\sf x+2}-1}{x+1}=\frac{1}{3}}\checkmark$

Answer 2

Resposta:

Se você fizer a substituição direta, quando x tende a - 1, observará que chegará em uma indeterminação do tipo 0/0.

Para resolver uma indeterminação em Limites, você pode utilizar diversos caminhos.

Explicação passo a passo:

Nesse caso, para resolver essa indeterminação, optei por utilizar a Regra de L'Hospital. Onde você deve derivar o numerador e denominador, em seguida, resolver o limite.

Para analisar os cálculos em detalhes, observe a imagem que anexei à resposta.