Question

Há três urnas contendo bolas: a primeira contém duas bolas brancas, a segunda duas bolas pretas e a terceira uma bola branca e uma bola preta.

As etiquetas BB, PP e BP estão coladas nas urnas de maneira que o conteúdo não corresponde as etiquetas.

É possível escolher uma urna de maneira que depois de tirar uma bola da urna determinar sempre o conteúdo de cada uma, explique.

Answer 1

Resposta:

Inicialmente não sabemos onde estão as bolas, pois as etiquetas são sabidamente erradas. Vamos chamar as posições das urnas de de 1, 2 e 3

$\rule{217}{} 1 \ \ \ \ \ \ 2 \ \ \ \ \ \ 3 \\Posi\c{c}\tilde{o}es \ desconhecidas \ (Etiquetas \ erradas): \boxed{BB} \ \boxed{PP} \ \boxed{BP}\\\\Bolas \ reais: \ \rule{143}{} \boxed{- -} \ \boxed{--} \ \boxed{--}$

Porém o fato de termos certeza que as etiquetas estão erradas, nos dá informações por exclusão quando retiramos uma bola.

Vamos retirar uma única bola e com isso deduzir toda a sequência.

Exemplo: Escolhemos a urna com etiqueta BP e retiramos uma bola preta.

Então essa urna necessariamente precisa ser na verdade a urna PP, pois se BP é a indicação que está na etiqueta, e é com certeza falsa, só sobra a possibilidade de ser PP (já que tiramos uma bola preta). Logo a urna com etiqueta BP na verdade tem PP (vamos indicar em baixo):

$\rule{217}{} 1 \ \ \ \ \ \ 2 \ \ \ \ \ \ 3 \\Posi\c{c}\tilde{o}es \ desconhecidas \ (Etiquetas \ erradas): \boxed{BB} \ \boxed{PP} \ \boxed{BP}\\\\Bolas \ reais: \ \rule{143}{} \boxed{- -} \ \boxed{--} \ \boxed{PP}$

Ainda precisamos achar em que urnas estão as bolas BB e BP.

Porém, sabemos que a indicação da etiqueta BB é falsa, e por isso as bolas reais BB precisam estar na outra urna. Logo, vamos colocar as bolas reais BB na posição da outra urna:

$\rule{217}{} 1 \ \ \ \ \ \ 2 \ \ \ \ \ \ 3 \\Posi\c{c}\tilde{o}es \ desconhecidas \ (Etiquetas \ erradas): \boxed{BB} \ \boxed{PP} \ \boxed{BP}\\\\Bolas \ reais: \ \rule{143}{} \boxed{- -} \ \boxed{BB} \ \boxed{PP}$

Agora só sobrou a urna com etiqueta com bolas reais BP, que é onde está a de etiqueta BB.

$\rule{217}{} 1 \ \ \ \ \ \ 2 \ \ \ \ \ \ 3 \\Posi\c{c}\tilde{o}es \ desconhecidas \ (Etiquetas \ erradas): \boxed{BB} \ \boxed{PP} \ \boxed{BP}\\\\Bolas \ reais: \ \rule{143}{} \boxed{BP} \ \boxed{BB} \ \boxed{PP}$

Conclusão: Apenas com uma bola retirada foi possível deduzir a posição das outras.