Question

Como saber se um sistema é impossível.

Answer 1

Explicação passo a passo:

Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível para o sistema. Para isso, o determinante principal do sistema deve ser diferente de 0.

Sistema Possível e Indeterminado (SPI): há infinitas soluções para o sistema. Para isso, o determinante principal do sistema deve ser igual a 0, e os determinantes secundários devem ser iguais a 0.

Sistema Impossível (SI): não há soluções para o sistema. Para isso, o determinante principal deve ser igual a 0 ($D=0$), e pelo menos um determinante secundário deve ser diferente de 0($D_x \neq 0, \ D_y \neq 0, \ D_z \neq 0$).

Os determinantes secundários são aqueles relacionados a cada uma das incógnitas. Para encontrá-los, pegamos a matriz do determinante principal e trocamos os valores das colunas das respectivas incógnitas pelos valores dos termos isolados. Para o sistema acima, temos os seguintes determinantes secundários. Exemplo:

$\begin{cases}x-8y+2z=0 \\5x-3y+7z=4 \\2x-6y+z=1\end{cases}$

Determinante Principal:

$D=\left| \begin{array}{rcr}1 & 8 & 2 \\ 5 & -3 & -7\\ 2 & 6 & 1\end{array} \right|$

Para achar a secundária da incógnita x, por exemplo, basta substituir na primeira coluna (coluna da incógnita x) pelos valores da igualdade:

$D_x=\left| \begin{array}{rcr}0 & 8 & 2 \\ 4 & -3 & -7\\ 1 & 6 & 1\end{array} \right|$

Para achar os outros secundários, ficarão assim:

$D_y=\left| \begin{array}{rcr}1 & 0 & 2 \\ 5 & 4 & -7\\ 2 & 1 & 1\end{array} \right|$

$D_z=\left| \begin{array}{rcr}1 & 8 & 0 \\ 5 & -3 & 4\\ 2 & 6 & 1\end{array} \right|$