Question

Sabe-se que v= 5 e (u+v) . (u-v) = 11. Determine:

1. ||u||

2. u . v, se ( u ^ v) = π/3

Answer 1

Peço desculpa responder sem a solução, mas pode-me indicar o livro que inclui esse enunciado, por favor?

Answer 2

Resposta:

1 ) || u || = + 6

Explicação passo a passo:

1 )

Dados :

|| vetor v || = 5

Produto interno de ( u + v ) . ( u - v ) = 11

Pedido:

|| u || = ?

Resolução :

Como as operações de no produto interno de vetores gozam da

Propriedade Distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica ,

aplicámo-la como se faz em casos de multiplicação de números ou

expressões com letras.

( é a vulgarmente chamada de " regra do chuveirinho " )

( u + v ) . ( u - v ) = 11

(u . u) + (u . (-v) ) + ( v . u ) + ( v . ( -v ) ) = 11

|| u ||² - ( u . v ) + ( v . u ) - || v ||² = 11

Como "  - ( u . v ) "  e  "  + ( v . u ) " são opostos ( simétricos ) cancelam-se ao

serem adicionados

|| u ||² - || v ||² = 11

Mas é dada a norma do vetor v. || v || = 5

|| u ||² - 5² = 11

|| u ||² = 11 + 25

|| u ||² = 36

|| u || =  + $\sqrt{36}$     ou    || u || =  -

Quando se extrai uma raiz quadrada de um número, originam-se dois

valores opostos ( simétricos ).

É necessário, dentro do contexto do problema, perceber qual ou quais são

válidas.

A norma de um vetor, sendo a dimensão desse vetor , só pode ter valores

iguais a zero ou positivos.

Norma com valor zero será para vetores nulos .

Exemplo :

Vetor FG = ( 0 ; 0 )

Assim só nos interessa o valor positivo da raiz quadrada

|| u || = + 6

2 )

Dados:

( u ^ v) = π/3

Pedido :

Produto interno de vetores u e v

Resolução :

Pela fórmula do Produto Interno de vetores, envolvendo o cosseno do

ângulo formado por eles.

Início de cálculos

cos (u ^ v ) = ( u . v ) / ( || u || * || v || )

$cos(\dfrac{\pi }{3} )=\dfrac{u.v}{||u||*||v||}$

Existem um conjunto de ângulos que é necessário saber , de memória, os

valores dos senos, cossenos e tangentes desses ângulos.

$cos(\dfrac{\pi }{3}) =\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{2} =\dfrac{u.v}{6*5}$

produto cruzado

1 * 30 = 2 * ( u.v)

( u.v) = 30/2

( u.v) = 15

Fim de cálculos.

Observação → Propriedades do Produto Interno ou Escalar de vetores

1ª )   Propriedade comutativa

v . w = w . v

2ª)   Propriedade de produto interno de um vetor por ele mesmo

v.v = ||v|| ||v|| = ||v||²

Demonstração desta propriedade que foi usada nesta tarefa.

v . v = || v|| * || v || * cos (v ^ v )

Mas o ângulo ( v ^v ) é igual a zero. Os vetores são coincidentes.

cos ( 0 º ) = 1

Logo

v . v = || v|| * || v || * 1

v . v = || v|| * || v ||

v . v = || v||²

3ª)   Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ( no produto interno de vetores )

u . ( v + w ) = u . v + u . w

4ª)  Propriedade associativa

(kv).w = v.(kw) = k(v.w)

5ª)   Propriedade da multiplicação de um vetor por um valor K

|kv| = |k| |v|

6ª)   |u.v| ≤ |u|  |v|   (desigualdade de Schwarz)

7ª)   |u+v| ≤ |u| + |v|   (desigualdade triangular)

Observação →  Alguns Valores  a saber de memória na Trigonometria

$sen(\dfrac{\pi }{6})=\dfrac{1}{2}$                   $sen(\dfrac{\pi }{4} )=\dfrac{\sqrt{2} }{2}$              $sen(\dfrac{\pi }{3} )=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$  

$cos(\dfrac{\pi }{6})=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$                $cos(\dfrac{\pi }{4} )=\dfrac{\sqrt{2} }{2}$                $cos(\dfrac{\pi }{3} )=\dfrac{1 }{2}$    

Bons estudos.

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( . )  produto interno de vetores      ( * ) multiplicação     ( / ) divisão

||     ||  norma de um vetor      

( u^v ) ângulo entre vetores "u" e " v "