Question

A quantidade de um determinado antibiótico presente no organismo de um paciente que o utiliza para o tratamento de uma doença é dada pela função Q t   a  2bt . Onde, Q t  é
a quantidade, em miligramas (mg), presente no organismo no instante de t horas e a e b são constantes reais. Observou-se que o paciente ao ingerir o antibiótico possuía no instante de 4 horas 512 mg do mesmo em seu organismo e que, 6 horas após essa observação possuía 64 mg. Nessas condições, determine:
a)(0,6 ponto) O valor das constantes a e b ;
b)(0,4 ponto) A quantidade inicial, em mg, de antibiótico ingerida pelo paciente;
c)(0,5 ponto) A quantidade, em mg, de antibiótico presente no organismo do paciente no instante de 15 horas.
d)(0,5 ponto) O instante, em horas, em que a quantidade de antibiótico no organismo do paciente será de 0,0625mg.

Answer 1

Resposta:

a) temos a função dada:

$Q(t)=a\cdot 2^b^t$

ele diz que temos um Q = 512 para um t = 4 e um Q = 64 para um t = 10. Colocando na função, teremos 2 equações:

$512=a\cdot 2^4^b$     (1)

$64=a\cdot 2^1^0^b$     (2)

Isolando o a na equação 2 e substituindo na equação 1:

$a=\frac{64}{2^1^0^b}$

$512=\frac{64}{2^1^0^b}\cdot 2^4^b$         (divisão de potências de bases iguais)

$512=\frac{64}{2^6^b}$

$2^6^b=\frac{64}{512}\\\\2^6^b=\frac{2^6}{2^9}\\\\2^6^b=\frac{1}{2^3}\\\\2^6^b=2^-^3\\\\6b=-3\\b=-\frac{1}{2}$

tendo o b achamos o a:

$a=\frac{64}{2^1^0^b}\\\\a=\frac{64}{2^1^0^\cdot ^\frac{-1}{2} }\\\\a=\frac{64}{2^-^5} \\\\a=\frac{2^6}{2^-^5}\\\\a=2^1^1$

b) Temos nossa nova função, com os valores de a e b:

$Q(t)=2^1^1\cdot 2^-^\frac{t}{2}$

a quantidade inicial é aquela aplicada em um t = 0. Colocando na função:

$Q(t)=2^1^1\cdot 2^-^\frac{0}{2}\\\\Q(t)=2^1^1\cdot 1\\\\Q(t)=2^1^1=2048$ mg

c) Para um t = 15

$Q(t)=2^1^1\cdot 2^-^\frac{15}{2}\\\\Q(t)=2^\frac{7}{2} \\\\Q(t)=\sqrt{2^7} \\\\Q(t)=2\sqrt{8}$mg

d) Para um Q = 0,0625

Reescrevi a função usando a regra da multiplicação de bases iguais, em seguida substituí o Q.

$Q(t)=2^1^1\cdot 2^-^\frac{t}{2}\\\\Q(t)=2^\frac{22-t}{2} \\\\2^\frac{22-t}{2}=0.0625\\\\ 2^\frac{22-t}{2}=\frac{1}{16} \\\\2^\frac{22-t}{2}=\frac{1}{2^4}\\\\2^\frac{22-t}{2}=2^-^4\\\\\frac{22-t}{2}=-4\\\\t=30$

OBS: complicado escrever equações aqui pelo brainly, se tiver alguma duvida se manifeste nos comentários