Question

Determine a área hachurada interior ao hexágono regular de lado 2 cm e exterior ao triângulo isósceles, conforme a figura abaixo.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria.

Primeiro, nomeamos os vértices do hexágono como na primeira imagem em anexo.

Trace uma reta unindo os vértices $A$ e $E$, como na segunda imagem em anexo.

Sabemos que os ângulos nos vértices deste hexágono podem ser calculados pela fórmula para o cálculo de ângulos internos: $\alpha_i=\dfrac{S_i}{n}=\dfrac{180^{\circ}\cdot (n-2)}{n}$, em que $n$ é o número de lados do polígono.

$\alpha=\dfrac{180^{\circ}\cdot (6-2)}{6}=\dfrac{180^{\circ}\cdot 4}{6}=\dfrac{720^{\circ}}{6}=120^{\circ}$

Calculamos a área do triângulo $\triangle{\text{AEF}}$ utilizando a fórmula: $A(\triangle{AEF})=\dfrac{\overline{EF}\cdot \overline{FA}\cdot\sin(\alpha)}{2}$, em que $\overline{EF}$ e $\overline{FA}$ são os comprimentos dos segmentos que unem os vértices e  $\alpha$ é o ângulo $E\hat{F}A$, isto é, $60^{\circ}$;

$A(\triangle{AEF})=\dfrac{2\cdot 2\cdot\sin(120^{\circ})}{2}=\dfrac{4\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\sqrt{3}~\text{cm}^2$

Agora, calculamos o comprimento do segmento $\overline{AE}$ por meio da lei dos cossenos: $\overline{AE}^2=\overline{EF}^2+\overline{FA}^2-2\cdot \overline{EF}\cdot\overline{FA}\cdot \cos(\alpha)$;

$\overline{AE}^2=2^2+2^2-2\cdot 2\cdot2\cdot \cos(120^{\circ})=4+4-2\cdot2\cdot2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=8+4=12\\\\\\ \overline{AE}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}~\text{cm}$

Então, note que o outro triângulo formado é retângulo em $A$.

Calculamos o comprimento do segmento que une o vértice $A$ ao ponto médio do segmento $\overline{AB}$, $G$, isto é, metade do comprimento do lado do hexágono: $\overline{AG}=\dfrac{\overline{AB}}{2}=\dfrac{2}{2}=1$.

Daí, calculamos a área do triângulo retângulo por meio da fórmula: $A(\triangle{\text{AGE}})=\dfrac{\overline{AG}\cdot\overline{AE}}{2}$

$A(\triangle{\text{AGE}}) = \dfrac{1\cdot 2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Somando-se as áreas encontradas, temos:

$A(\triangle{\text{AEF}})+A(\triangle{\text{AGE}})=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}~\text{cm}^2$

Note que, dado que o triângulo $\triangle{\text{GDE}}$ é isósceles, os comprimentos de $\overline{GD}$ e $\overline{GE}$ são iguais, portanto o triângulo divide igualmente o hexágono. Isto significa que a área hachurada é o dobro da área que encontramos:

$A(\text{hachurada})=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}~\text{cm}^2~~\checkmark$