Question

Determinar a equação vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos pontos A(1,-1,2) e B( 2,1,0) ​

Answer 1

Equação vetorial

(x,y,z)=(xo,yo,zo) + t * (a,b,c)      ...t ∈ Reais

(xo,yo,zo)  um ponto qualquer

(a,b,c) é o vetor diretor

(a,b,c)=(2-1 , 1-(-1) , 0-2)= (1 , 2,-2)

(x,y,z)  = (2,1,0) + t* (1,2,-2)   ...t ∈ Reais

Equação paramétrica

x=2+t

y=1+2t

z=-2t       ...t ∈ Reais

Equação simétrica

x=2+t  ==>t=x-2

y=1+2t ==>t=(y-1)/2

z=-2t    ==> t=-z/2

x-2  = (y-1)/2  =-z/2    é a eq.

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que as equações vetorial, paramétricas e simétrica da referida reta são, respectivamente:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: (x, y, z) = (1, -1, 2) + \lambda(1, 2, -2)\:\:\:}}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: \Large\begin{cases}\bf x = 1 + \lambda\\ \bf y = -1 + 2\lambda\\ \bf z = 2 - 2\lambda\end{cases}\:\:\:}}\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: x - 1 = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{-2} \:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos:

        $\Large\begin{cases} A = (1, -1, 2)\\ B = (2, 1, 0)\end{cases}$

Para encontrar a equação vetorial da reta "r" devemos:

• Deduzir a equação vetorial da reta "r":

        Para isso fazemos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \overrightarrow{AP} = \lambda\vec{v}\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}P - A = \lambda\vec{v} \end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = A + \lambda\vec{v},\:\:\:com\:\lambda\in\mathbb{R},\:\:\:e\:\:\:\vec{v}\ne\vec{0}\end{gathered}$

         Se:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{v} = \overrightarrow{AB} \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = B - A\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2, 1, 0) - (1, -1, 2)\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2 - 1, 1 + 1, 0 - 2)\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (1, 2, -2)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{v} = (1, 2, -2) \end{gathered}$

           Então:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = A + \lambda\vec{v}\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x, y, z) = (1, -1, 2) + \lambda(1, 2, -2)\end{gathered}$

         Portanto, a equação vetorial da reta "r" é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: (x, y, z) = (1, -1, 2) + \lambda(1, 2, -2)\end{gathered}$

• Obter as equações paramétricas:

       Para isso fazemos:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: \Large\begin{cases} x = 1 + \lambda\\ y = -1 + 2\lambda\\ z = 2 - 2\lambda\end{cases} \end{gathered}$

• Obter a equação simétrica:

        Para isso, isolamos cada um dos "λ" das equações paramétricas e depois, igualamos os mesmos, ou seja:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lambda_{x} = \lambda_{y} = \lambda_{z}\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: x - 1 = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{-2} \end{gathered}$

                     

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Solução gráfica: