Question

Considere uma sucessão (Un) tal que:
(Un) é uma progressão geométrica de razão positiva;
U3=8 e U9=64
Qual é a soma dos 10 primeiros termos desta sucessão?.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Temos que

U1.q² = U3 => U1.q² = 8 (I)

U1.q⁸ = U9 => U1.q⁸ = 64 (II)

Dividindo (II) por (I) vem que

q⁶ = 8 => $q=\sqrt[6]{8}=>q=8^{\frac{1}{6}}=>q=(2^{3})^{\frac{1}{6}}=>q=2^{\frac{1}{2}}=>q=\sqrt{2}$ (III)

Substituindo (III) em (I) vem

$U1.(\sqrt{2})^{2}=8=>U1.2=8=>U1=\frac{8}{2}=>U1=4$ (IV)

Queremos somar os 10 primeiros termos da P.G, assim

a1 = U1 = 4

q = √2

n = 10

Assim teremos

$S_{n}=\frac{a1.(q^{n}-1)}{(q-1)}$ =>

$S_{10}=\frac{4.([\sqrt{2}]^{10}-1)}{(\sqrt{2}-1)}$ =>

$S_{10}=\frac{4.([2^{\frac{1}{2}}]^{10}-1)}{(\sqrt{2}-1)}$ =>

$S_{10}=\frac{4.(2^{5}-1)}{(\sqrt{2}-1)}$ =>

$S_{10}=\frac{4.(32-1)}{(\sqrt{2}-1)}$ =>

$S_{10}=\frac{4.(31)}{(\sqrt{2}-1)}$ =>

$S_{10}=\frac{124}{(\sqrt{2}-1)}$ =>

$S_{10}=\frac{124(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$ =>

$S_{10}=\frac{124(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2})^{2}-(1)^{2}}$ =>

$S_{10}=\frac{124(\sqrt{2}+1)}{2-1}$ =>

$S_{10}=\frac{124(\sqrt{2}+1)}{1}$ =>

$S_{10}=124(\sqrt{2}+1)$