Question

IFPI 2020.1
37. Sobre uma corda AB de um círculo de

centro O, que mede 5 6 cm, marca-se um ponto

P de tal maneira que AB seja dividida na razão 2:3.

Se o segmento OP mede 3 cm, o comprimento

do raio, medido em centímetros, é igual a:

a) 2√5

b) 3√5

c) 5√2
d) 4√3
e) 3√2​

Answer 1

Resposta:

O raio do círculo é $3*\sqrt{5}$ cm, a alternativa correta é a b).

Explicação passo a passo:

Se a corda AB é dividida na razão 2:3 e seu comprimento total é de 5*raiz(6), então observamos facilmente que os comprimentos dos segmentos AP e PB são 2*raiz(6) e 3*raiz(6).

Consideremos os dois triângulos OAP e OBP conforme a figura.

Aplicando a lei dos cossenos aos triângulos OAP e OBP, obtemos:

Para o triângulo OAP:

R^2 = 4*6 + 3^2 - 2*2*$\sqrt{6}$*3*cos α

=> R^2 = 33 - 12*$\sqrt{6}$ * cos α                         (1)

Para o triângulo OBP:

R^2 = 9*6 + 9 - 6*$\sqrt{6}$*3*cos π - α

mas cos  π - α = - cos  α, então:

R^2 = 63 - 18*$\sqrt{6}$* - cos α

=> R^2 = 63 + 18*$\sqrt{6}$*cos α                          (2)

Igualando os lados direitos das equações (1) e (2):

33 - 12*$\sqrt{6}$*cos α= 63 + 18*$\sqrt{6}$*cos α

=> 30*$\sqrt{6}$*cos α= - 30

=> cos α = -1/$\sqrt{6}$ = -$\sqrt{6}$/6

Substituindo o valor de cos α na equação (1) obtemos R:

R^2 = 33 - 12*$\sqrt{6}$*-$\sqrt{6}$/6

=> R^2 = 33 + 12

=> R^2 = 45

=> R = $\sqrt{45}$ = 3*$\sqrt{5}$

Portanto R = 3*$\sqrt{5}$     cm.