A função h: [0,10]→[0,25], dada por f(t)= - t² + 10t descreve a altura h em metros em função do tempo t em segundos de um projétil lançado do solo. Podemos garantir que a altura máxima atingida pelo projétil, assim como o tempo gasto para o mesmo atingir essa altura, são respectivamente iguais a:
A) 25m e 5s
B) 100m e 10s
C) 25m e 10s
D) 100m e 5s
Respostas
Resposta:
A ) 25 m aos 5 s
( ver gráfico em anexo )
Explicação passo a passo:
Esta tarefa faz-se , raciocinando bem, em poucos minutos ( eu ia a dizer
segundos; e seria verdade ; escreve-se muito mais devagar do que se
pensa )
Repare que a função h (x) está definida da seguinte maneira
h (t) : [ 0 , 10 ] → [ 0 , 25 ]
f(t)= - t² + 10 t
[ 0 ; 10 ] é o domínio da função.
Isto quer dizer que o valor do " t " tempo em segundos, vai desde
zero segundos que é o momento em que o projétil é lançado
Até ao momento 10 segundos, que é quando o objeto cai no solo.
[0 ; 25] é o contradomínio da função
Isto quer dizer que no lançamento do projeto ( aos zero segundos) ele está
à altura zero metros.
Claro.
Pois ele está ao nível do chão, óbvio.
E vai atingir a altura máxima de 25 m.
Mas são nos dadas duas possibilidades para atingir os 25 metros , máximo
de altura.
C ) 25 m aos 10 s
Mas aos 10 segundos é quando projetil cai no solo.
Logo não pode ser esta possibilidade. Quando cai a altura é zero metros.
Voltou ao chão.
A ) 25 m aos 5 s
Faz todo o sentido que seja esta.
O gráfico desta função é uma parábola.
E é uma figura simétrica.
Metade da figura representa a curva do projetil a subir e a outra metade
corresponde ao movimento descendente do objeto.
O objeto vai pelo ar, quando chega a metade do tempo ( 5 segundos )
atinge a altura máxima de 25 m.
De certeza que já viu muitas situações como esta, por exemplo no futebol.
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Agora vamos fazer de conta que nada atrás eu disse.
Para determinar os valores pedidos vamos calcular o vértice da parábola.
A coordenada de x do vértice vai dar valor do tempo ( segundos ) em que
o objeto chega à máxima altura.
A coordenada em y do vértice vai dar a altura máxima que o objeto atinge.
Fórmula para calcular o vértice.
V ( - b / (2a) ; - Δ / (4a ) )
O "a" e o " b " são conhecidos pois são coeficientes da expressão da
função.
O Δ = b² - 4 * a * c , que é nosso conhecido da Fórmula de Bhascara.
f(t)= - t² + 10t
a = - 1
b = 10
c = 0
Δ = 10² - 4 * ( - 1 ) * 0 = 100
V ( - 10 / (2 * (- 1) ) ; - 100 / (4 * ( - 1 ) )
V ( - 10 / (- 2 ) ; - 100 / ( -4 ) )
V ( 5 ; 25 ) logo A)
Cá temos a comprovação do que havia sido pensado e concluído, acima.
Bons estudos.
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( * ) multiplicação ( / ) divisão
Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para
que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele , em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.
